Решение задач по теме «Четыре замечательные точки треугольника»
1. В остроугольном треугольнике АВС серединные перпендикуляры сторон АВ и ВС пересекаются в точке О, ОВ=10 см. Найдите расстояние от точки О до стороны АС, если угол ОАС равен 30°.
2. В треугольнике АВС медианы АА1, ВВ1 пересекаются в точке О и взаимно перпендикулярны. Найдите площадь треугольника АОВ, если АА1=18 см, ВВ1=24см.
3. В остроугольном треугольнике АВС высоты АА1 и СС1 пересекаются в точке О. Найдите угол ОВА, если угол ОСА= 38°.
4. В треугольнике МНК биссектрисы пересекаются в точке О. Расстояние от точке О до стороны МН=6см, НК= 10 см. Найдите площадь треугольника НОК.

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (c^2 = a^2 + b^2).
Теорема об угле в 30 градусов: катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.
Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению его катетов. (три вышеуказанные теоремы относятся к прямоугольным треугольникам).
Площадь любого треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
Если в треугольнике углы при основании равны, то этот треугольник - равнобедренный (и наоборот).
Если в треугольнике все углы равны, то этот треугольник - равносторонний.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
В равностороннем треугольнике высоты являются серединными перпендикулярами к сторонам.

1) Если M - точка пересечения диагоналей параллелограмма, задача решена.
2) Точка M выбирается произвольно.
Равенство,которое нужно доказать - S(ABM)-S(BMC)=S(ADM)-S(CMD) - перепишем 
в виде: S(ABM)+S(CMD)=S(ADM)+S(BMC).
Рассмотрим пару треугольников AMD и BMC. Пусть MK и MH их высоты соответственно,причем точки M,K и H лежат на одной прямой (если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй).Тогда площади данных треугольников равны соответственно 1/2AD*MK и 
1/2BC*MH, а их сумма (так как AD=BC) - 1/2BC(MK+MH)=1/2BC*HK (так как MH+MK=HK), что равно половине площади параллелограмма!
Следовательно, другая половина приходится на вторую пару треугольников,
требуемое утверждение доказано.