Виды треугольников: равносторонний, равнобедренный, прямоугольный, остроугольный, тупоугольный.
Равносторонний и равнобедренный - отпадают, т.к. все стороны имеют разную дину.
Определим угол α треугольника, между двумя его меньшими сторонами.
Обозначим стороны: а=3 см, в=15 см, с=17,8 см
По теореме косинусов ∠α=arccos((a²+b²-c²)/2ab)=arccos((9+225-316.84)/2·3·15)=arccos(-82.84/90)≈arccos(-0.92)≈156°
Если ∠α≈156°, то на два остальных угла приходится 180-156=24°, т.е. имеем 1 тупой и 2 острых угла.
Треугольник со сторонами : а=3 см, в=15 см, с=17,8 см - тупоугольный
Найдем гипотенузу прямоугольного треугольника.
√(6²+8²)=√100=10
Значит сторона правильного треугольника равна 10 см.
Найдем полупериметр правильного треугольника со стороной 10:
р=10*3/2=15 см
Найдем радиус вписанной в треугольник окружности:
r=√(p-10)³/p=√(125/15)=5/√3
ответ: 5/√3 см
Рассмотрим второй вариант, если бы в условии нужно было узнать возможно ли построить равносторонний треугольник внутри прямоугольного, не пересекающийся с исходным, одной стороной лежащий на гипотенузе и с вершиной, совпадающей с вершиной прямого угла и если возможно - найти радиус вписанной окружности в этот треугольник.
Решение: В равностороннем треугольнике все его внутренние углы равны 60°. поэтому, нужно убедиться, что оба непрямых угла прямоугольного треугольника меньше 60°. Для этого достаточно определить один уз углов, прилегающих к гипотенузе. Т.к. длины всех сторон уже известны (6, 8 и 10 см), найдем отношение катета длиной 8 к гипотенузе. 8/10=0,8. arcsin 0,8≈53°<60°, значит и второй угол 180-90-53≈37°<60°.
Делаем вывод, что треугольник с заданными параметрами вписать можно.
Очевидно, что высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу прямоугольного треугольника, совпадает с высотой искомого равностороннего треугольника. Найдем эту высоту.
h=6*sin(arcsin 0,8)=6*0.8=4.8 см
Найдем теперь сторону равностороннего треугольника с высотой 4,8 см.
а=4,8/sin60°=9.6/√3
Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности:
r=a/(2√3)=4,8/3=1,6
ответ: 1,6 см
