Дано два кола з центрами у точках O і О1, які перетинаються у точках M і N.
Довести, що MN ⊥ OO1.

У колі з радіусами АО і ОВ пряма а проходить через середини радіусів так, що ОЕ = ОА/4. Оскільки відстань - це перпендикуляр, маємо прямокутний трикутник КОЕ та РОЕ. З прямокутного трикутника КОЕ: ОК = ОА/2, ОЕ = ОА/4. Тобто, катет ОЕ у два рази менший за гіпотенузу ОК. Катет, що дорівнює половині гіпотенузи, лежить проти кута 30 градусів. Тобто, кут ОКЕ = 30 градусів. Кут КОЕ = 90 - 30 = 60 градусів. Трикутники КОЕ та РОЕ рівні за прямим кутом та гіпотенузою, тобто кути КОЕ та РОЕ рівні і дорівнюють по 60 градусів. Кут АОВ = <KOE + <POE = 60 + 60 = 120 градусів.

1 задача. чертим треугольник со сторонами 5, 12, 8.

пусть АБ=5,  БЦ=12, АЦ=8.

середина стороны АБ точка Е, середина стороны БЦ точка М, середина стороны АЦ точка Н,

соединяем между собой точки середин сторон ( т е Е-М-Н) у нас получается еще 1 треуголник.

по получившемуся рисуунку замечаем, что прямые ЕМ,  МН, НЕ  явл средними линиями треугольника АБЦ, так как проходят через 2 середины сторон и соответственно паралельны основаниям (сторонам) ЕМ || АЦ, МН || АБ, НЕ || БЦ

средняя линия треугольника равна половине основания (стороны) которой параллельна, т е

ЕМ=1/2 АЦ=1/2 * 8=4

МН=1/2 АБ=1/2*5=2,5

НЕ=1/2 БЦ=1/2*12=6

значит периметр треуголника ЕМН

Р(емн)=4+2,5+6=12,5