16√3 см²
Объяснение:
Дано: ΔАВС - равнобедренный, ВС=АВ=8 см.
∠А/∠В=1/4.
Найти S(АВС).
Пусть ∠А=∠С=х° т.к. у равнобедренного треугольника углы при основании равны
Тогда ∠В=4х°.
Проведем высоту ВН, которая является и биссектрисой ∠В по свойству высоты равнобедренного треугольника.
Тогда ∠АВН=1/2 ∠В=2х°
Рассмотрим ΔАВН - прямоугольный, ∠А+∠АВН=90° по свойству острых углов прямоугольного треугольника. Составим уравнение:
х+2х=90; 3х=90; х=30. ∠А=30°, тогда ВН=1/2 АВ = 8:2=4 см по свойству катета, лежащего против угла 30 градусов.
По теореме Пифагора АН=(√АВ²-ВН²)=√(64-16)=√48=4√3 см.
АС=2 АН=4√3 * 2 = 8√3 см
S(АВС)=1/2 * АС * ВН = 1/2 * 8√3 * 4 = 16√3 см²
Для удобства примем куб с ребром 2 (чтобы пополам делился).
а) прямые ВВ1 и ВК лежат в одной плоскости и имеют общую вершину В.
На ребре ВВ1 возьмём его середину - точку В2.
Тогда В2КВ - прямоугольный треугольник.
В2К = √(2² + 1²) = √5.
Тангенс искомого угла равен √5/1 = √5.
Угол равен arc tg(√5) = 65,90516 градуса.
б) прямые А1С1 и В1К скрещиваюшиеся.
Перенесём В1К точкой В1 в точку С1 и получим треугольник, в котором заданные прямые имеют общую точку и образуют искомый угол.
Это треугольник А1С1К2. Находим длины его сторон.
А1С1 = 2√2 = √8,
С1К2 = В1К = √6 ,
А1К2 = √(1² + 3²) = √10.
Косинус угла в точке С1 равен:
cos C1 = (8 + 6 - 10)/(2*√8*√6) = 4/(2√48) = 1/(2√3).
Угол равен arc cos (1/(2√3)) = 73,221 градуса.
