BD – биссектриса треугольника ABC. Точка E выбрана так, что ∠EAB = ∠ACB, AE = DC, и при этом отрезок ED пересекается с отрезком AB в точке K. Докажите, что KE = KD.

У ромба противоположные углы равны, значит противоположный угол углу 120° тоже будет равен 120°. Сумма углов ромба равна 360°, можем найти чему равна сумма двух острых углов:
360°-120°-120°=120°
Следовательно каждый из острых углов равен 
120°:2=60°
Диагональ ромба делит его на два равных равнобедренных треугольника. Следовательно если угол при вершине равнобедренного треугольника равен 60°, то треугольник равносторонний, то есть стороны треугольника равны длине диагонали и равны 10 см.
Периметр ромба:
P = 4*a = 4*10 = 40 см.

Трапеция АВСД.
АД нижнее основание;
ВС верхнее основание трапеции;
АС=11; ВД=13; 
m=10 средняя линия;
Сделаем дополнительное построение. 
Из вершины С проведем отрезок СМ параллельно ВД, 
до пересечения с продолжением стороны АД. 
Четырехугольник ВСМД - параллелограмм, так как  
ВС параллельна ДМ и ВД параллельна СМ по построению. 
Значит, СМ=ВД=13; ВС=ДМ;
Из вершины С опустим перпендикуляр СК на АД. 
СК -это высота трапеции АВСД и треугольника АСМ. 
Площадь треугольника АСМ равна 
S(АСМ)=СК*АМ/2; 
АМ=АД+ДМ=АД+ВС; 
m=(АД+ВС):2; 
АД+ВС=2*m=2*10=20; 
АМ=АД+ВС=20; 
S(АСМ)=СК*20/2=10*СК;
Площадь трапеции АВСД равна 
S(АВСД)=СК*m=10*CК; 
Значит, S(АВСД)=S(АСМ);
В треугольнике АСМ АС=11; СМ=13; АМ=20;
Площадь найдем по формуле Герона: 
полу периметр р=(11+13+20):2=22; 
S²=22*(22-11)*(22-13)*(22-20)=22*11*9*2;
S=√2*11*11*9*2=2*3*11=66; 
ответ: 66