Обозначим пирамиду АВСК. К вершина. Двугранный угол образованный гранями и основанием пирамиды определяется перпендикулярами к ребру. Из вершины К опустим перпендикуляр к основанию КО=H -высота пирамиды. О -центр вписанной окружности. Радиус этой окружности находится по формуле R=корень из (р-а)(р-в)(р-с)/р. Где р=(а+в+с)/2-полупериметр. р=(10+10+12)/2=16. R=корень из((16-10)(16-10)(16-12)/16)=3. Проведём перпендикуляры ОД и КД к АС . Угол КДО=45 по условию. Треугольник КДО прямоугольный , значит и угол ДКО=45. Следовательно ОД=ОК=R=3. Высота боковой грани КД=h=корень из(ОДквадрат +ОК квадрат)=корень из(9+9)=3корня из2. Она одинакова для всех боковых граней. Тогда площадь боковой поверхности равна S=1/2*h(а+в+с)= 1/2*(3 корня из 2)*(10+10+12)=48 корней из 2.
1) ΔАВС , ∠С=90° , СН⊥АВ , ∠ АСН=60°, ВС=3,6 см . Найти: АВ=?
Рассм. ΔАСН. ∠А=90°-∠АСН=90°-60°=30° .
Рассм. ΔАВС. Катет ВС=3,6 см лежит против угла в 30°, значит он равен половине гипотенузы, то есть ВС=1/2*АВ ⇒ АВ=2*ВС ,
АВ=2*3,6=7,2 (см) .
ответ: АВ=7,2 см .
2) ΔАВС , ∠С=90° , ∠С:∠А=4:2 , СН⊥АВ , ВН=3 см . Найти АН .
∠А+∠С=90° , ∠С=4k , ∠A=2k , 4k+2k=90° , 6k=90° , k=15° .
∠C=4*15°=60° , ∠A=2*15°=30° .
Рассм. ΔВСН. ∠ВНС=90° , ∠ВСН=90°-∠В=90°-60°=30° .
Катет ВН=3 см лежит против угла в 30°, тогда гипотенуза в 2 раза больше этого катета: ВС=2*3=6 см.
Из теоремы Пифагора: СН=√(ВС²-ВН²)=√(36-9)=√27=3√3 (см)
Рассм. ΔАСН. ∠АНС=90° , ∠А=30° ⇒ катет СН лежит против угла
в 30° ⇒ АС=2*СН=2*3√3=6√3 (см) .
АН=√(АС²-СН²)=√(36*3-9*3)=√81=9 (см)
ответ: АН=9 см .
