В треугольник MPK вписана окружность, O - ее центр, ∠M = 50°, ∠K = 70°.
Вычислите градусные меры углов MOK, MOP, POK.
Решение.
Рассмотрим треугольники MOK, MOP, POK. O - центр окружности, вписанной в треугольник MPK, значит, O - точка пересечения этого треугольника. Поэтому ∠OMK = ∠OMP °, ∠OKP = ∠OKM = ° . Теперь найдем угол P. ∠P = ° - (° +°) = ° . Значит, ∠MPO
вот фото.

На окружности с центром  в точке J отложим любые точки А и В. Соединим эти точки. Получили хорду АВ. Проведем через центо J диаметр CD перпендикулярно хорде АВ. Точки А и В равноудалены от центра J: АJ=BJ (радиусы). Проведем ЛЮБУЮ окружность с центром в точке I через точки А и В. Эти точки будут равноудалены от центра I: АI=BI (радиусы). Следовательно, центр I будет лежать на прямой a, включающей в себя диаметр CD, то есть отрезок JI будет также принадлежать прямой a. Следовательно, JI перпендикулярен АВ при ЛЮБОМ расположении центров J и I окружностей относительно общей хорды АВ.
Что и требовалось доказать.

Данные нам треугольники подобны по первому признаку подобия: "Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны". В равнобедренных треугольниках,  высоты и медианы равны, значит высота делит основание треугольника пополам.. Найдем высоту первого треугольника по Пифагору:
√(15²-9²) = √144 =12. Высота второго треугольника нам дана, коэффициент подобия треугольников равен отношению их высот: 12:24 = 1:2. Следовательно, боковые стороны второго треугольника равны 15*2=30см, а основание равно 18*2=36см. Периметр второго треугольника равен:
30+30+36=96см.
ответ: периметр равен 36см.