2 ВАРИАНТ
1. В треугольнике ABC <A = 100°, <С=40°,
а) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный, и укажите боковые
стороны.
б) Отрезок СК — биссектриса Данного треугольника. Найдите углы, которые она
образует со стороной АВ.
2. Отрезки AB и CD пересекаются в точке 0, которая является серединой каждого из
них
а) Докажите, что ∆AOD - ∆ВОС,
б) Найдите <0BC, если <0DA = 40°, 2<BOС= 95°
3. В прямоугольном треугольнике ABC (угол В- прямой) катет АВ равен 32см,
AC - 64см. Найдите угод С.​
От

Сделаем рисунок трапеции ABCD (BC||AD), проведём в ней диагонали AC и BD. (Рисунок простой, каждый сможет сделать его)
Через вершину С проведём параллельно диагонали ВD прямую до пересечения с продолжением АD в точке Е.  Обратим внимание на то, что четырехугольник ВСЕD - параллелограмм. ( Если две стороны четырехугольника равны и параллельны - этот четырехугольник - параллелограмм).
Следовательно, ВС=DЕ, и АЕ равно сумме оснований. 
Опустим высоту СН на АD/
Площадь треугольника АСЕ равна СН*(АD+DЕ):2
Но площадь трапеции также равна  СН*(АD+DЕ):2 .
Площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму оснований. )
Высота СН для треугольника и трапеции - общая, а
(АD+DЕ):2 - есть полусумма оснований=средняя линия трапеции.и АЕ равна сумме оснований, т.е средняя линия, умноженная на 2.
 Итак, зная диагонали трапеции и ее среднюю линию, можно найти ее площадь по формуле Герона. Это свойство трапеции желательно запомнить.  

[email protected]

в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны.

трапеция - четырехугольник, следовательно,   если в неё можно вписать окружность, то сумма ее оснований равна сумме боковых сторон. 

сумма оснований данной трапеции 3+5=8, а её средняя линия равна 4 

пусть длина меньшего основания а . тогда длина большего - 8-а.

средняя линия трапеции делит саму трапецию на две меньшего размера, высоты каждой из которых равны половине высоты исходной. 

площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту. 

пусть высота каждой части трапеции равна h. 

тогда площадь верхней трапеции будет  (а+4)•h: 2,  

а площадь большей (8-а+4)•h: 2=(12-а)•h: 2

по условию отношение этих площадей равно 5/11⇒

[ (а+4)•h: 2]: [ (12-а)•h: 2]=5/11

отсюда 60-5а=11а+44

16а=16

а=1

подробнее - на -