В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, угол B — прямой. Вычисли углы треугольника A и C, а также центральные углы, если ∢ EOF = 121°.
∢ A=?
∢ C= ?
∢ DOE = ?
∢ DOF =?

Пусть основания ВС и AD. Обозначим точку пересечения диагоналей - точку О.
    Проведем высоту через точку пересечения диагоналей.
Высота делит основания равнобедренной трапеции пополам.
Пусть отрезок высоты в треугольнике ВОС равен х, а отрезок высоты в треугольнике AOD  равен (h-x).
BC/2=x·tg((180°-α)/2)
AD/2=(h-x)· tg((180°-α)/2)

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

MN=(BC+AD)/2=(BC/2)+(AD/2)=x·tg((180°-α)/2) +(h-x)· tg((180°-α)/2) =

=tg((180°-α)/2)(x+h-x)=h·tg((180°-α)/2)=h·tg(90°-(α/2))

дана трапеция ABCD

EM - средняя линия

пересекает диагонали в точках К и N

AC и BD - диагонали

 

из свойств средней линии трапеции: EM||BC||AD

CM=MD и EM||BC, тогда по теореме Фалеса ( если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне) EM проходит через точку N.

AE=EM и EM||BC, тогда по теореме Фалеса ( если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне) EM проходит через точку K.

Следовательно: AK=CK и DN=BN

 

можно также доказать через треугольники ABC и DCB - средняя линия трапеции будет средней линией этих треугольников. Средняя линия треугольника делит стороны пополам, значит диагонали пересекаются пополам.