В треугольник АВС вписана окружность с центром О. Из точки О к сторонам АВ и АС треугольника проведены перпендикуляры ОК и ОР. Докажите, что АК=АР.

Если не трудно с рисунком

1)Пусть С- прямой угол в прямоугольном треугольнике АВС, тогда СН-высота проведенная к гипотенузе, СМ- биссектриса,проведенная к гипотенузе.
2)По условию сказано, что угол между СМ и СН равен 15 градусов.
3)По свойству биссектрисы угол АСМ= углу МСВ=45 градусов(т.к С по условию 90),значит, так как угол НСМ=15 градусов, а угол НСМ+угол АСН=45 градусов, то угол АСН равен 30 градусам.
4)Так как СН высота, то угол СНА равен 90 градусов, следовательно угол САН=60 градусов( по теореме о сумме углов треугольника).
5)Значит, в треугольнике АВС угол В = 180-90-60=30 градусов( по теореме о сумме углов треугольника)
6) Так как в прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы, то АС=3 см
7) По теореме Пифагора СВ= 3 корня из 3
ответ: 3 и 3корня из 3

Дано:

△ABC;

А(2;-2;2), В(0;2;0), С(0;0;-2).

Найти:

P△ABC = ?

Решение:

Чтобы найти периметр треугольника, нужно найти расстояния от точек, из которых состоит данный треугольник.

Расстояние от точки А до В - длина АВ.

Расстояние от точки В до С - длина ВС.

Расстояние о точки А до С - длина АС.

Вычисляется это расстояние следующим образом:

d - расстояние.

d = √((В(х) - A(x))² + (B(y) - A(y))² + (B(z) - A(z))²).

Сейчас показала формулу на примере нахождения расстояния от точки А до В.

Сделаем также, только представляю вместо значения х, у и z, данные значения:

d = √((0 - 2)² + (2 - (-2))² + (0 - 2)²) = √(4 + 16 + 4) = √24 = 2√6 - длина АВ.

d = √((0 - 0)² + (0 - (-2))² + (-2 - 0)²) = √(0 + 4 + 4) = √8 = 2√2 - длина ВС.

d = √((0 - 2)² + (0 - (-2))² + (-2 - 2)²) = √(4 + 4 + 16) = √24 = 2√6 - длина АС.

Вывод: этот треугольник - равнобедренный, так как АВ = АС = 2√6

P = a + b + c = 2√6 + 2√6 + 2√2 = 4√6 + 2√2 = 2√2 ⋅ (2√3 + 1)

ответ: 2√2 ⋅ (2√3 + 1).