Решение. На продолжениях отрезков AM и А\М\ отложим отрезки MD и Mi А, равные AM и АХМХ (рис. 100). ААМС = ABMD по двум сторонам и углу между ними (AM = MD по построению; ВМ = МС, так как AM — медиана; ZAMC = ZBMD, так как эти углы — вертикальные). Отсюда следует, что BD = АС.
Аналогично, из равенства треугольников А\М\С\ и B\M\D\ следует, что B\D\ = А\С\, а так как АС = А\С\ (по условию), то BD = = BXDX.
AABD = AA\B\Di по трем сторонам (АВ = АХВХ; BD = BXDX\ AD = AXDX, так как AD = 2AM, A\D\ = 2A\M\ и AM = AXMX). Отсюда следует, что медианы ВМ и В\М\ в этих треугольниках равны . Поэтому ВС = 2ВМ = 2В\М\ = В\С\ и ААВС = АА\В\С\ по трем сторонам.
Проведем через точку Р прямую PB, параллельную основанию MLтреугольника KLM. На касательной PL отметим точку А. <KLA=<KML (так как <KML - вписанный и опирается на дугу KL, а <KLA - угол между касательной LA и хордой KL, равный половине дуги KL - свойство).
<PLB=<KLA - вертикальные => <KML= <PLB. <PBL= <KLM (соответственные при параллельных ML и РВ), <KLM = <KML (углы при основании равнобедренного треугольника) => <PBL=<PLB и треугольник PLB равнобедренный. => PL=PB, HL=HB=PM/2.
По свойству касательной и секущей PL² =PK*PM = 8(8-a), где а - сторона треугольника KLM.
NL= a/2 (дано), LH=PM/2 = (8-a)/2. Проекция PN на КL - это отрезок NH = NL+LH = a/2+(8-a)/2 = 4.
ответ: 4 ед.
