2. Даны векторы ~a = (4, −1, 2),

~b = (−1, −2, 6) и ~c = (3, −2, 1). Найти
вектор ~x такой, что ~x ⊥ ~c, ~a ~x = 4 и ~b ~x = 1.

3. Даны векторы ~a = (0, 1, −1),

~b = (1, 1, −2) и ~c = (1, 2, 1). Найти вектор
~d длины 2
√
7, компланарный векторам ~a и ~b, ортогональный вектору ~c и

направленный так, что тройка (~a, ~d,~c ) – левая.

4. Даны векторы ~p = (1, 1, −2), ~q = (2, 1, 0), ~r = (−3, 1, 2) и ~s = (8, 2, −4).

Проверить, что векторы ~p, ~q, ~r образуют базис и найти координаты вектора

~s в этом базисе.

​

Здравствуйте! Давайте решим задачи по очереди.

2. Нам нужно найти вектор ~x такой, что ~x ⊥ ~c, ~a ~x = 4 и ~b ~x = 1.

Для того, чтобы найти вектор ~x, удовлетворяющий условиям, воспользуемся свойствами скалярного произведения.

Если векторы ~x и ~c перпендикулярны (~x ⊥ ~c), это означает, что их скалярное произведение равно нулю: ~x • ~c = 0.

Также нам известно, что ~a ~x = 4 и ~b ~x = 1.

Используя формулу для скалярного произведения, получаем следующую систему уравнений:

4 = ~a • ~x = 4x_1 - x_2 + 2x_3,
1 = ~b • ~x = -x_1 - 2x_2 + 6x_3,
0 = ~x • ~c = 3x_1 - 2x_2 + x_3.

Решим эту систему уравнений. Произведем элементарные преобразования над уравнениями, чтобы получить треугольную матрицу:

1 -1 2 | 4,
-1 -2 6 | 1,
3 -2 1 | 0.

1. Добавим к первому уравнению второе уравнение, умноженное на (-1):
1 -1 2 | 4,
0 -1 4 | -3,
3 -2 1 | 0.

2. Добавим к первому уравнению третье уравнение, умноженное на (-3):
1 -1 2 | 4,
0 -1 4 | -3,
0 1 5 | 12.

3. Добавим ко второму уравнению первое уравнение:
1 -1 2 | 4,
0 -1 6 | 9,
0 1 5 | 12.

4. Поменяем знак второго уравнения:
1 -1 2 | 4,
0 1 -6 | -9,
0 1 5 | 12.

5. Вычтем из второго уравнения третье:
1 -1 2 | 4,
0 1 -6 | -9,
0 0 11 | -3.

Окончательно, имеем систему:
x_1 - x_2 + 2x_3 = 4,
x_2 - 6x_3 = -9,
11x_3 = -3.

Решив ее, получим:
x_3 = -3/11,
x_2 = -9 + 6 * (-3/11) = -57/11,
x_1 = 4 + (-57/11) + 2 * (-3/11) = -7/11.

Таким образом, вектор ~x = (-7/11, -57/11, -3/11).

3. Нам нужно найти вектор ~d длины 2√7, компланарный векторам ~a и ~b, ортогональный вектору ~c и направленный так, что тройка (~a, ~d, ~c) – левая.

Для начала найдем вектор orthogonal_to_plane, который лежит в плоскости, образованной векторами ~a и ~b, через вычисление их векторного произведения:
orthogonal_to_plane = ~a × ~b =
= (1*(-2) - 2*1, 2*(-1) - 6*0, 4*1 - (-1)*(-2)) =
= (-4, -2, 6).

Теперь найдем единичный вектор, ортогональный вектору ~c, деля вектор orthogonal_to_plane на его длину:
u = orthogonal_to_plane / ||orthogonal_to_plane|| =
= (-4/√56, -2/√56, 6/√56) =
= (-4/(2√14), -2/(2√14), 6/(2√14)) =
= (-2/√14, -1/√14, 3/√14).

Для получения вектора ~d, умножим e на 2√7:
~d = 2√7 * u =
= 2√7 * (-2/√14, -1/√14, 3/√14)) =
= (-4√7/√14, -2√7/√14, 6√7/√14) =
= (-2√2, -√2, 3√2).

Таким образом, вектор ~d = (-2√2, -√2, 3√2) имеет длину 2√7, компланарен векторам ~a и ~b, и ортогонален вектору ~c, при этом тройка (~a, ~d, ~c) – левая.

4. Нам нужно проверить, что векторы ~p, ~q, ~r образуют базис, и найти координаты вектора ~s в этом базисе.

Для того, чтобы проверить, что векторы ~p, ~q, ~r образуют базис, нужно убедиться, что они являются линейно независимыми и что вектор ~s представим в виде линейной комбинации векторов ~p, ~q, ~r.

Составим матрицу из векторов ~p, ~q, ~r, а затем преобразуем ее к ступенчатому виду:

1 2 -3 8,
1 1 1 2,
-2 0 2 -4.

1. Вычтем из второго уравнения первое:
1 2 -3 8,
0 -1 4 -6,
-2 0 2 -4.

2. Прибавим к третьему уравнению два первых:
1 2 -3 8,
0 -1 4 -6,
0 4 -4 0.

3. Умножим второе уравнение на (-1):
1 2 -3 8,
0 1 -4 6,
0 4 -4 0.

4. Вычтем из третьего уравнения четыре вторых:
1 2 -3 8,
0 1 -4 6,
0 0 0 -24.

Заметим, что третья строка матрицы состоит из нулей, то есть система уравнений имеет бесконечное количество решений. Из этого следует, что векторы ~p, ~q, ~r линейно зависимы, и не образуют базис.

Теперь найдем координаты вектора ~s в базисе.

Для этого рассмотрим расширенную матрицу, состоящую из матрицы ~p, ~q, ~r и столбца, состоящего из координат вектора ~s:

1 2 -3 8 | 8,
1 1 1 2 | 2,
-2 0 2 -4 | -4.

Приведем ее к ступенчатому виду:

1 2 -3 8 | 8,
0 -1 4 -6 | -6,
0 0 0 -24 | -24.

Из последнего уравнения следует, что -24z = -24, откуда z = 1.

Второе уравнение можно записать как -y + 4z = -6. Подставляя значение z = 1, получим -y + 4 = -6, откуда y = 10.

Первое уравнение можно записать как x + 2y - 3z = 8. Подставляя значения y = 10 и z = 1, получим x + 20 - 3 = 8, откуда x = -15.

Таким образом, координаты вектора ~s в базисе ~p, ~q, ~r равны (-15, 10, 1).