Пряма AB – є дотичною до кола,
радіус якого ОВ. Маємо
кут BOC=120°. Визначити кут ABC.​

R - радиус окружности,
l - длина дуги,
С - длина окружности,
S - площадь круга,

1.
С = 2πR, ⇒ R = C / (2π)
S = πR² = π · C² / (2π)² = C² / (4π)

2.
Площадь кольца можно найти отняв от площади большего круга площадь меньшего.
Sб = π·25²
Sм = π· 24²
Sкольца = Sб - Sм = π · 25² - π · 24² = π(25² - 24²) = π(25 - 24)(25 + 24)
Sкольца = π · 49 = 49π см²

3.
Sсект = πR² · α / 360°
Sсект = π · 9 · 20° / 360° = π/2 см²

4.
Sсект = πR² · α / 360°
10π = π · 36 · α / 360°
α = 10π · 360° / (36π) = 100°

5.
l = 2πR · α / 360°
l = 2π · 6 · 120° / 360° = 4π дм

6.
l = 2πR · α / 360°
6π = 2πR · 60° / 360°
6 = R / 3
R = 6 · 3 = 18

Теорема Чевы. Дан треугольник  и точки 
на сторонах BC, AC и AB соответственно. Отрезки 
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда



Лемма. Если числа  таковы, что 

то

,

лишь бы знаменатель в ноль не обращался.

Доказательство леммы. Оно элементарно. Кстати, те, кто в первый раз видит эту лемму, очень часто реагируют так: "Вы что же, числители и знаменатели складываете?! У нас в школе за это двойки ставят!" Впрочем, присмотревшись к утверждению и убедившись, что мы не собираемся таким образом дроби складывать, обычно все успокаиваются, особенно разобравшись в доказательстве.

Обозначим общее значение дробей  и
буквой 
Тогда 





что и требовалось доказать.

Чтобы эта лемма стала совсем очевидной, хочется привести еще и то, что я иногда называю ПОКАЗАТЕЛЬСТВОМ, то есть рассуждение, не претендующее на роль строгого рассуждения, но приблизиться к "кухне математика". Итак, представьте две карты некой местности в разных масштабах, a - это расстояние между пунктами D и E, b - между E и F на одной карте, b и d - аналогичные расстояния на другой карте. В этом случае  - это отношение масштабов карт. Ясно, что если мы сложим a и c, то получим длину маршрута от первого пункта через второй к третьему на первой карте, а сложив b и d - длину маршрута на второй карте. Понятно, что их отношение снова равно отношению масштабов карт.

Доказательство теоремы.

1. Пусть указанные отрезки пересекаются в точке , тогда треугольник  оказывается разбит на 6 треугольников, занумерованных так, как указано на чертеже.  Рассмотрим первую дробь

Поскольку числитель и знаменатель этой дроби являются основаниями треугольников  и  с общей высотой, дробь не изменится, если заменить числитель и знаменатель на площади указанных треугольников. А заметив, что на тех же основаниях стоят треугольники
и , можно заменить числитель и знаменатель и на их площади. 

Поэтому



Воспользуемся теперь леммой: дроби не изменятся, если взять разность числителей и разность знаменателей:



Проведя аналогичное рассуждение для двух других дробей, получаем:



что и доказывает теорему Чевы в одну сторону.

2. Пусть  не пересекаются в одной точке.Проведем через точку пересечения  и 
отрезок  (точка  расположена на стороне ). 
По доказанному,



Если бы было выполнено

,

то 



что невозможно при 

(скажем, если точки на стороне 
расположены в порядке 
то числитель первой дроби больше числителя второй дроби, а знаменатель первой дроби меньше знаменателя второй, значит, первая дробь больше второй).

На этом доказательство завершается.
 
Замечание. Нетрудно получить тригонометрическую форму теоремы Чевы. 
Воспользуемся для этого теоремой синусов:





Аналогично получаем



Отсюда получается новая формулировка теоремы Чевы.

Отрезки пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда 



Примеры.

1) Медианы пересекаются в одной точке, поскольку все три дроби в основной формулировке теоремы Чевы равны 1.

2) Биссектрисы пересекаются в одной точке. Здесь удобнее воспользоваться теоремой Чевы в тригонометрической форме.

3) Высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке. Опять легче воспользоваться тригонометрической формой.