1. Дано: ∠ В = ∠ С = 90°, AB = CD (Рис. 1).

Доказать: ∠ 1 = ∠ 2.

2. В остроугольном треугольнике MNP биссектриса угла М пересекает высоту NK в
точке О, причем ОK = 9 см. Найдите расстояние от точки О до прямой MN.
3. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.

1. Для доказательства ∠1 = ∠2 мы воспользуемся следующими свойствами прямоугольника:

- В прямоугольнике все углы равны 90°, поэтому ∠В = ∠С = 90°.
- В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому AB = CD.

Теперь рассмотрим треугольник ADB. В этом треугольнике у нас есть два равных угла ∠ADB и ∠BDA, так как стороны AD и BD равны (они являются сторонами прямоугольника) и угол В равен 90°.

Итак, мы знаем, что углы ∠ADB и ∠BDA равны, значит ∠1 = ∠2. Доказательство завершено.

2. Чтобы найти расстояние от точки О до прямой MN, мы воспользуемся свойствами подобных треугольников и равенства отрезков.

Мы знаем, что если две пары углов в двух треугольниках равны, то эти треугольники подобны. Заметим, что треугольник MNO и треугольник NKP являются подобными треугольниками, так как углы МОН и NKP равны (у них есть общая сторона NK) и углы MNO и NKП равны (у них есть общая сторона MP).

Теперь мы можем использовать отношение подобия треугольников, чтобы найти расстояние от точки О до прямой MN. Отношение подобия говорит нам, что отношение длин соответствующих сторон треугольников равно друг другу.

Мы знаем, что ОK = 9 см. Заметим, что сторона МО в треугольнике MNO соответствует стороне NK в треугольнике NKP.

Используя отношение подобия треугольников, мы можем записать следующее:

МО / NK = NO / NP

Так как МО и NK являются соответствующими сторонами и NO = 9 см, то мы можем выразить МО:

МО = (NO / NP) * NK

Таким образом, чтобы найти МО, мы должны знать длину стороны NP и длину стороны NK.

3. Чтобы построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу, мы воспользуемся следующими шагами:

- Нарисуем прямую линию AB и отметим точку A.
- С помощью циркуля или произвольной линейки поставим линию MN (гипотенузу) на линии AB, чтобы она пересекала точку A и находилась справа от нее.
- Укажем на линии MN точку M (она находится между точкой A и точкой B).
- Используя угломер или линейку, поставим перпендикулярную линию NO к линии MN в точке M.

Таким образом, мы построили треугольник МNO, где МN - гипотенуза, а МО - острый угол.

Постройка завершена.