Найдите площадь S полной поверхности тетраэдра, если все его рёбра равны 5. В ответе запишите √3S

Начерти тетраэдр SABC. Проведи высоту SO. Точка О является центром вписанной и описанной окружности, поскольку в тетраэдре все основания - правильные треугольники. Тебе нужно найти высоту тетраэдра. ЕЕ найдем из треугольника SOB, где ОВ - радиус описанной окружности. И находится он по формуле R = a/√3, где а - сторона треугольника.
ОВ = 8/√3 см.
По теореме пифагора высота OF =  √ (64 - 64/3) = 8√2/√3 см
Ортогональной проекцией боковой грани является равнобедреннй треугольник, основание которого 8 см, а высота равна высоте тетраэдра.
Поэтому чертишь отрезок 8 см и со средины отрезка проводишь перпендикуляр равный высоте тетраэдра, которую мы вычислили. Соединяешь вершины и почучаешь ортогональную проекцию.
ЕЕ площадь:
S = 1/2 * 8 * 8√2/√3 = 32√2/√3 см^2
Если не нравятся корни в ответах, то калькулятор, хотя обычно ответ принято оставлять в такой форме.     

r=5см

Объяснение:

Дано:

а=15см

в=20см

r=?

По теореме Пифагора вычис-

лим гипотенузу треугольника:

с=(20^2+15^2)^1/2=25(см)

Точка пересечения биссектрис

треугольника является центром

его вписанной окружности.

Окружность, вписанная в треу

гольник, касается каждой его

стороны. С другой стороны, ка

сательная перпендикулярна

радиусу, проведенному через

точку касания.

Вывод: расстояние от точки

пересечения биссекрис до ги

потенузы есть радус окруж-

ности, вписанной в этот прямо

угольный треугольник.

Используем формулу радиуса

окружности, вписанной в пря-

моугольный треугольник:

r=а+в-с/2

r=15+20-25/2=10/2=5(см)

расстояние от точки

пересечения биссектрис

до гипотенузы 5см.