Сторона ромба равна а, острый угол 60 градусов. через сторону ромба проведена плоскость альфа на расстоянии а/2 от противолежащей стороны. найти длину проекции меньшей диагонали ромба на эту плоскость.

См чертеж.

ED перпендикулярно АВ, (ED = a*корень(3)/2; но для решения это не нужно:))

В ПЛОСКОСТИ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ АВ проводим ЕF так, чтобы DF = a/2;

Треугольник BDF - прямоугольный  и DF перпендикулярна BF.

Действительно, DF перпендикулярна ЕF по построению, но DF лежит в плоскости, перпендикулярной АВ, то есть она перпендикулярна и АВ, а значит, и любой прямой в плоскости, проходящей через АВ и EF. 

Поэтому BF - искомая проекция BD на BFE  и её величину очень легко вычислить, если увидеть, что угол FBD равен 30 градусам (FD/BD = 1/2, малая диагональ равна стороне ромба).

ответ а*корень(3)/2;