Выпуклый четырехугольник ABCD вписан в окружность. При этом величины углов ABC и BCD соответственно равны 70°и 120°. Тогда величина угла BAD равна:
а) 110
б) 180
в) 60
г) 120

Объяснение:

Дано: ABCD - трапеция, AB ∩ CD = K, AD = 12, AC = 8,  , BK = 8

Найти: CD - ?

Решение: Треугольник ΔKBC подобен треугольнику ΔKAD по двум углам, так как угол ∠AKD - общий, а так как по условию ABCD - трапеция, то по определению трапеции её две стороны являются параллельными, так как по условию AB ∩ CD = K, то следовательно BC║AD, тогда угол ∠KBC = ∠KAD как соответственные углы при параллельных прямых и секущей по теореме (BC║AD; AK - секущая). По свойству отрезка AK = AB + BK. Так как треугольник ΔKBC подобен треугольнику ΔKAD по двум углам, то по свойствам подобных треугольников: .

Рассмотрим треугольник ΔABC. ПО теореме косинусов:

.

Угол ∠ACB = ∠CAD как внутренние разносторонние углы при при параллельных прямых и секущей по теореме (BC║AD; AK - секущая).

Так как ∠ACB = ∠CAD, то cos ∠ACB =  cos ∠CAD.

По теореме косинусов для треугольника ΔCAD:

.

Если провести через точку A прямую параллельно BC, то она пересечет BD в точке K таким образом, что AK = AB. Это потому, что
∠AKB = ∠DBC; это - внутренние накрест лежащие углы; а
∠DBC = ∠ABD; так как BD - биссектриса
получилось, что треугольник AKB - равнобедренный.
Теперь понятно, что для того, чтобы прямая AD пересекла BС в точке C за точкой D, то есть чтобы существовал треугольник ABC, нужно, чтобы точка D лежала ближе к B, чем K.
Отсюда ∠ADB > ∠AKB = ∠ABD; и AB > AD; так как напротив большего угла в треугольнике лежит большая сторона.