Даны векторы: MN (-1 0 8), ML (0 -3 7), MK (-6 4 0).
Объём пирамиды (тетраэдра) равен (1/6) модуля смешанного произведения векторов (MNxML)*MK.
Найдём это произведение с применением схемы Саррюса.
-1 0 8| -1 0
0 -3 7| 0 -3
-6 4 0| -6 4 = 0 +0 + 0 - 0 -(-28) - 144 = -116.
V = (1/6)*|-116| = 116/6 = 58/3.
Находим векторы в плоскости MNK как разность векторов.
LN = ML – MN = (0-(-1); -3-0; 7-8) = (1; -3; -1).
LK = ML – MK = ((0-(-6); -3-4; 7-0) = (6; -7; 7).
Площадь треугольника NLK равна половине модуля векторного произведения векторов LN и LK.
i j k| i j
1 -3 -1| 1 -3
6 -7 7| 6 -7 = -21i – 6j – 7k – 7j – 7i + 18k = -28i – 13j + 11k.
Найдем модуль вектора:
|c| = √(cx² + cy² + cz²) = √((-28)² + (-13)² + 11²) = √(784 + 169 + 121) = √1074.
Найдем площадь треугольника:
S = (1/2) √1074 = √1074/2 ≈ 16,386.
Теперь можно найти высоту Н из вершины M на плоскость NLK по формуле:
H = 3V/S = (3*(58/3)/(√1074/2) = 116/√1074 = 58√1074/537 ≈ 3,54.
4) Примем угол А=а, угол В=b
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. ⇒
в ∆ АДС ∠АCD=∠CAD=а.
По условию СD=АD, а СD - медиана, и АD=ВD, ⇒ СD=ВD.
∆ ВDС равнобедренный. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. ∠ВСD=∠СВD=b
Из найденного следует: угол С=а+b
Сумма углов треугольника 180°
Угол А+угол С+угол В=180° ⇒
а+b+a+b=180°
2a+2b=180°⇒
a+b=90° - угол С=а+b=90°
(Полезно помнить: Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой проведена, этот треугольник – прямоугольный).
======
5) В ∆ АОС отрезок ОF перпендикулярен АС⇒ ОF – высота, а т.к. ∆ АОС равнобедренный (АО=ОС – дано), то ОF - медиана. ∆ АВF=∆ BCF– они прямоугольные с равными катетами: АF=FC (доказано), и ВF - общий, ⇒ АВ=ВС.
В равнобедренном ∆ АВС отрезок ВF- не только высота, но и медиана и биссектриса. Расстояние от точки до прямой - длина проведенного перпендикулярно к прямой отрезка.
Треугольники ВКО и ВМО прямоугольные с общей гипотенузой ВО и равным острым углом при В. Эти треугольники равны по углу и гипотенузе. Следовательно. ОМ=ОК=4.
≈≈≈≈≈≈≈≈
6) Медиана AF делит ВС на равные отрезки. BF=CF⇒
DF - медиана ∆ BDC и по свойству медианы прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы
DF=ВС:2=5 (ед. длины)
======
8) Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°. ⇒
угол САВ=90°-34°=56°
Медиана СМ делит ∆ АВС на равнобедренные: ∆ АМС с углами при АС, равными 56°, и ∆ ВМС с углами при ВС, равными 34°.
Угол АСН=90°-56°=34°
∠НСМ=∠АСМ -∠АСН.
Угол НСМ=56°-34°=22°
