Стороны треугольника равны 30 дм, 40 дм и 50 дм.
Является ли этот треугольник прямоугольным?

Дано: Прямоугольный равнобедренный треугольник АВС. ∠С=90*, ∠А=∠В=45*. МО || CB, NO||CA
Решение:
проведем биссектрису ОС и Р/м треугольник СОВ (он равен СОА, так как т.к высота/медиана/биссектриса поделила АВС пополам). Он прямоугольный (т.к биссектриса в прямоугольном равнобедренном треугольнике - высота и медиана, а высота - это перпендикуляр, опущеный из угла на противолежащую сторону) и равнобедренный (потому как по условию ∠В=45*, а ∠ОСВ=1/2*90*=45*, то есть углы равны, следовательно, и боковые стороны тоже).
Проведем высоту ОN (биссектрису и медиану) уже в нем. Полученные треугольники равны, т.к высота/медиана/биссектриса поделила СОВ пополам, поэтому рассматриваем только СОN. Из 1п следует, что ∠ОСВ=45*, а ∠СОN=45 так же, поэтому это тоже прямоугольный равносторонний треугольник, в котором СN=ОN, а, т.к. треугольник СМО= треугольнику СОN, то СМ=МО=СN=ОN.
Р/м четырехугольник СМОN. Из вышеперечисленного следует, что СМ=МО=СN=ОN, ∠N=90 ∠М=90 ∠О=90 ∠С=90, из этого делаем вывод, что данная фигура - квадрат, все стороны которого равны, а углы прямые.

Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный лучами с вершиной на ребре, и при этом лучи лежат на гранях двугранного угла и перпендикулярны ребру.

В ∆ АВС опустим высоту АЕ перпендикулярно BC, тогда
DA перпендикулярен ( ABC )
AE принадлежит ( АВС )
Значит, DA перпендикулярен AE
AE перпендикулярен ВС
Тогда по теореме о трёх перпендикулярах DE перпендикулярен ВС

Из этого следует, что угол AED – линейный угол двугранного угла ABCD.

Рассмотрим ∆ АВС:
Высота равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

h = a√3 / 2

где а – сторона равностороннего треугольника, h – высота

AE = AB × √3 / 2 = 6 × √3 / 2 = 3√3

Рассмотрим ∆ AED (угол DAE = 90°):

tg AED = AD / AE = 4 / 3√3 = 4√3 / 9

ОТВЕТ: 4√3 / 9