В тупоугольном равнобедренном треугольнике, периметр которого равен 80см, высота, проведенная к боковой стороне в 2 раза меньше этой стороны. Основание равно 20см. Найти эту высоту и углы треугольника.

Очень просто. Обозначим катеты как a и b. По теореме Пифагора a^2 + b^2 = 15^2 = 225. Как известно, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: a*b*0.5 = 54. Составляем систему из этих двух уравнений. Решаем подстановкой, допустим, возьмем катет a: a = 54/(0.5*b) = 54*2/b = 108/b. Далее подставляем в первое уравнение. Только не пугайся, числа большие: (108/b)^2 + b^2 = 225; 11664/b^2 + b^2 = 225. Умножаем обе части на b (в этом отношении мы можем делать что угодно, ведь длина катета - величина положительная) : 11664 + b^4 = 225*b^2. Переносим все в левую часть: b^4 - 225*b^2 + 11664 = 0. Заменим b^2 на x, тогда b^4 = x^2: x^2 - 225x +11664 = 0. Решаем квадратное уравнение: дискриминант равен (-225)^2 - 4*1*11664 = 50625 - 46656 = 3969 = 63^2. Далее находим корни: x1 = (-(-225) - 63)/2*1 = (225-63)/2 = 162/2 = 81. Т. е. x1 = 81, а значит b1 = корень квадратный из 81 = 9 (помним: длина катета - величина положительная) . Т. е. один катет мы уже нашли - он равен 9 см. Второй корень уравнения лучше не искать, второй катет можно найти из подстановки a = 108/b = 108/9 = 12. Все. Мы нашли катеты, они равны 9 см и 12 см соответственно. Задача решена. Можно сделать проверку: площадь равна 0.5*a*b = 0.5*12*9 = 54 см^2.

Биссектриса - это прямая, которая делит угол пополам. В прямоугольнике все углы равны 90⁰, то есть биссектриса угла B дели его пополам, то есть по 45⁰. 
Если она поделила сторону NK на 3 и 4, то сторона NK = BD = 3+4. 
Теперь рассмотрим треугольник BNF, которые образовала биссектриса BF. У него угол N = 90 ⁰, то есть он прямоугольный. Также угол ∠NBF = 45⁰, а так как сумма углов треугольника равна 180⁰, то ∠BFN = 180 - 90 - 45 = 45⁰!
Так как мы получили, что углы в этом треугольнике равны, то и стороны равны! То есть NF = BN = 3
Отсюда периметр P = 2NK + 2BN = 14+6 = 20

ответ: P(BDNK) = 20