В равнобедренном треугольнике угол, противолежащий основанию, равен 30 градусов, а средняя линия, параллельная основанию, равна 10 см. Найдите стороны треугольника.

1) Четырехугольник ADEC - трапеция (DE ║ AC). ∠BAC = ∠BCA ⇒ трапеция равнобедренная, значит, AD = CE = BA - BD = 6.
В трапеции ∠ВАС = ∠BCA  ⇒ и ∠ADE = ∠CED.
ΔADE = ΔCED по двум сторонам и углу между ними (AD = CE, DE - общая, ∠ADE = ∠CED).
2) AD║CF, AC║DF ⇒ ADFC - параллелограмм, значит, ∠DAC = ∠CFE.
∠ACE = ∠FEC как накрест лежащие углы при пересечении AC║DE секущей СЕ. Значит, ΔECF подобен ΔАВС по двум углам.
3) Т.к.  ΔECF подобен ΔАВС, то EF/AC = CE/BC
EF/10 = 6/13  ⇒ EF = 60/13
4) Пусть h - высота треугольника АВС, опущенная на боковую сторону.
Тогда Sabc = 13h/2 = √(p(p - a)(p - b)(p - c), где a, b, c - стороны треугольника АВС, р - его полупериметр
13h/2 = √(18 · 5 · 5 · 8)
13h/2 = √(9 · 2 · 5 · 5 · 4 · 2) = 3 · 5 · 4 = 60
h =120/13
5) AC║DF, значит, расстояние от точки А до DE  и от точки С до DF одинаковы, т.е. ΔADE и ΔDCF имеют одинаковые высоты, опущенные к основаниям DE и DF соответственно. Значит, площади этих треугольников относятся как длины этих оснований.
Sade/Sdcf = DE/DF
DF = AC = 10 как противолежащие стороны параллелограмма,
DE = DF - EF = 10 - 60/13 = 70/13
Sade/Sdcf = (70/13) / 10 = 7/13

ответ: 45 градусов.

Объяснение:

Прежде, чем решить задачу - немного теории.

См. верхний рисунок.

Пусть ABC - остроугольный треугольник, H - точка пересечения высот, O - центр описанной окружности.

BB1 - диаметр. Так как B1A перп. AB и CH перп. AB, то CH II AB1; точно также AH II CB1; то есть фигура AHCB1 - параллелограмм.

=> AM = MC; и B1M = MH; другими словами, точка B1 симметрична точке H относительно середины стороны AC.

Точка H1 - пересечение описанной окружности и продолжения высоты BN; B1H1 перпендикулярно BH  => B1H1 II AC => MN - средняя линия тр-ка HB1H1; => HN = NH1; другими словами, точка H1 симметрична точке H относительно стороны AC;

Чтобы уж совсем оценить, что доказано, я повторю это словами. Если H - точка пересечения высот остроугольного треугольника, то точки, симметричные H относительно сторон треугольника и середин сторон треугольника, лежат на описанной окружности.

Теперь - решение.

См. нижний рисунок.

Все обозначения прозрачны, поэтому - сразу к сути.

Так как H - точка пересечения медиан треугольника AED, то FH/AH = 1/2; из подобия тр-ков AHN и FPH PH/HM = FH/HA = 1/2; (больше я такие вещи не объясняю, это было сделано для примера).

Так как ED - средняя линия ABC; ED II AB; то CP = PN; легко видеть, что, если PH = x (это просто обозначение), то HN = 2x; CP = 3x; => CH = 4x; => CH/HN = 2/1; ну, и CN = 6x;

=> HN = NC/3;

Если провести через точку H прямую KG II ED (и II AB), то AG/GD = AH/HF = 2/1;

=> точка G - точка пересечения медиан тр-ка ABC (AD - медиана ABC).

Поэтому медиана CM пройдет через точку G, а заодно - и через точку F, потому что среднюю линию она тоже поделит пополам.

Дальше все просто - из того, что EF = FD следует KH = HG; а это, в свою очередь, дает AN = NM; то есть AN = NB/3;

Теперь надо вспомнить теорию. Если описать окружность вокруг ABC, то H1N = NH = NC/3;

Для двух хорд  CH1 и AB

AN*NB = H1N*NC; => NC*NC/3 = NB*NB/3; => NC = NB;

треугольник CNB - прямоугольный равнобедренный.