1. В окружность с радиусом 6 см вписан треугольник АВС. Чему равно расстояние от центра окружности до вершин треугольника?
а) 12см
б) 6см
в) 3см
г) 18см
2. Около трапеции описана окружность. Вычисли остальные углы трапеции, если угол F = 68°

Для решения нужно найти сторону основания и апофему. 

Основание правильной треугольной пирамиды МАВС - равносторонний треугольник АВС. 

СН=5 ⇒

 СВ=СН:sin60°=5:√3/2=10/√3

Вершина правильной пирамиды проецируется в центр основания, 

т.е. в точку пересечения медиан ∆ АВС.

По свойству медиан т.О делит СН в отношении СО:ОН=2:1 =>

ОН=CH:3=5/3 

 Данный по условию двугранный угол - угол между боковой гранью и основанием, а ребром его является сторона основания. 

Градусной мерой двугранного угла является величина  линейного угла,  стороны которого  – лучи с общим началом на ребре двугранного угла, проведенные в его гранях перпендикулярно ребру. 

Наклонная МН⊥АВ, её проекция СН⊥АВ, ⇒ угол МНО=45°

∆ МОН- прямоугольный.

cos45°=√2/2

 Апофема МН=ОН:cos45°=(5/3):(√2/2)

S(ABC)=CH•AB:2=5•5/√3=25/√3

S(бок)=3•МН•АВ=3•10/(3√2)•0,5•10/√3=25√2/√3 

S(полн)=S (осн)+S(бок)

S(полн)=25/√3+25√2/√3 =25•(1+√2):√3= ≈ 34,846 см²

Проведём двугранный угол! для этого опустим перпендикуляры из вершины и из точки А на прямую ВС! назовём точку Н!

АН - медиана!

проведём ВД и СК - медианы! они пересекаются в одной точке О и в нее же падает высота!

рассмотрим прямоугольный треугольник SOH! угол SHO =45 по условию! SO - катет=5! SH - гипотинуза и она же является апофемой!

SH=SO/sin45=5/sqrt2/2=10/sqrt2=10sqrt2/2=5sqrt2

 угол равен 45, то треугольник равнобедренный и ОН=5!

медианы точкой пересеения делятся в отношение 2 к 1! на ОН приходится только 1 часть, значит, вся меиана равна 15!

рассмотрим прямоугольный треугольник АВН! АН=15, угол ВАН=30 угол АВН =60

АВ=АН/sin60=15/sqrt3/2=30/sqrt3=30sqrt3/3=10sqrt3

Po=30sqrt3

Sb= 30sqrt3*5sqrt2/2=75sqrt6

So=10sqrt3*15/2=5sqrt3*15=75sqrt3

Sp=So+Sb=75sqrt6+75sqrt3