Знайдіть площу рівнобічної трапеції, якщо її діагональ є бісектрисою гострого кута і ділить середню лінію на
відрізки 8,5 см і 16,5 см.​

Пускай данная трапеция ABCD
Пусть(Не пиши пусть) СН-Высота
Диагональ ВD пересекает СН в точке О, СО=20 см, ОН=12 см. 

ВС=СD. 

 ∆ ВСD - равнобедренный угол СВD=углу СDВ. 

В то же время ∠СВО=∠НDО как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущей, углы при О - равны как вертикальные.  прямоугольные треугольники ВСО и НDО подобны. 

HD:ВС=ОH:СО=12\20=3/5

Примем ВС=СD=а. 

Тогда НD=3а\5

Из ∆ СНD по т.Пифагора 

СD²=СН²+НD²

а²=1024+9а²\25

16а²\25=1024

Разделим обе стороны уравнения на 16, извлечем корни:

а\5=8

а=40 см

АD=а+3а\5=1,6а

АD=40х1,6=64 см

S=(BC+AD)хCH:2=104х(20+12):2=1664 см²

х-это умножение)

Пускай нам дана трапеция ABCD (ВС и АD - основания) ,
ее диагональ АС = ВС + AD
угол между диагоналями АС и ВD равен 60° 

Доказать, что АВСD - равнобедренная трапеция

Доказательство:
проведем из пункта В прямую к диагонали АС (пункт пересечения обозначим О), так, что ВС = СО

тогда АО = АС - СО = (ВС + AD) - ВС = AD 
имеем два равнобедренных треугольника ∆ВСО (ВС = СО) и ∆AOD (АО = AD)
<CBO = <COB (∆BCO- равнобедренный)
<AOD = <ADO (∆AOD- равнобедренный)
<BCO = <OAD (накрест лежащие) ==> <CBO = <COB = <AOD = <ADO

Раз <AOD = <BOC, а стороны АО и СО этих углов лежат на одной прямой, то <AOD  и  < BOC -вертикальные
и значит  ВО и OD лежат на одной прямой ==>
O - пункт пересечения диагоналей AC и BD

тогда <BOC = AOD = 60° (по условию)
<CBO = <COB = <AOD = <ADO = 60° 
<BCO = <OAD = 180 - <AOD - <ODA = 60° ==>
==> ∆BCO и ∆AOD - равносторонние

BC = CO = OB (∆BCO  - равносторонний)
AO = OD = AD (∆AOD - равносторонний) 
<BOA = <COD (вертикальные) ==>
==> ∆BOA = ∆COD (по двум сторонам и углу между ними)
 значит BA = CD
и делаем вывод, что ABCD - равнобедренная трапеция
всё =)