Угол между прямыми C₁B и AA₁ равен 35°
Объяснение:
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости).
В задаче C₁B и AA₁ являются скрещивающимися прямыми (см. рисунок). Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно, параллельными данным скрещивающимся прямым.
В силу этого, так как C₁B || D₁A, то угол между прямыми C₁B и AA₁ равен углу между прямыми D₁A и AA₁, то есть ∠A₁AD₁. В треугольнике ΔAA₁D₁:
∠AD₁A₁+∠D₁A₁A+∠A₁AD₁=180°.
Тогда, так как ∠AA₁D₁=90° и ∠AD₁A₁=55°, то ∠A₁AD₁=180°–90°–55°=35°.
Обозначения. Для внешних касательных точки касания А и В ("сверху"), А1 и В1 ("снизу"), внутренняя касательная пересекает внешние в точках К (c прямой АВ) и K1 (с прямой А1В1). С - "верхняя" точка касания внутренней касательной, С1 - "нижняя".
Получается вот что - одной окружности (ну, пусть слева на чертеже) касательные касаются в точках А, А1(это внешние) и С1 (это - внутренняя, как бы ниже линии центров), а другой (которая справа) - в точках В, В1(внешние) и С (внутренняя, выше линии центров). Точка К1 лежит ниже линии центров (и "слева"), и К1А1 = К1С1; точка К лежит выше линии центров (и "справа"), КВ = КС.
СС1 = КС1 - КС = КА - КС = АВ - КВ - КС = АВ - 2*КС.
СС1 = К1С - К1С1 = К1В1 - К1С1 = А1В1 - К1С1 - А1К1 = А1В1 - 2*К1С1;
Но АВ = А1В1, поэтому К1С1 = КС;
АВ = КС1 + КВ = КК1 - К1С1 + КС = КК1, ч.т.д.
