Дан тупоугольный треугольник ABC. Точка пересечения серединных перпендикуляров сторон тупого угла находится на расстоянии 11,8 см от вершины угла . Определи расстояние точки от вершин и .

= см.

= см.

Точки Р,  Т лежат на серединном перпендикуляре РТ,  значит они удалены от концов отрезка АС,  т.е.  АР=РС,  АТ=ТС
<ВАР=30⁰,  <APB = 60⁰  в   треугольнике  АВР.   Смежный угол  <APC=120⁰
Треугольник АРС - равнобедренный (АР=РС  по доказанному),  РО - высота,  медиана,  биссектриса,  т.е. <АРО=<СРО=60⁰,  <РАО=30⁰  (сумма углов треугольника равна 180⁰)
<ВАД=90⁰,    <ВАР=30⁰,    <РАС=30⁰    <ОАТ=90-(30+30)=30⁰,  значит <РАТ=60⁹
Получили,  треугольник АРТ - равносторонний,  т.к.  <P=<A=<t=60⁰
Значит,  РТ=АР=АТ=8см,    Р(АРСТ)=8*4=32(см)
ответ:32см

Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон, параллельна третьей и равна её половине. 
Обозначим треугольник АВС. АВ=ВС. 
Если средняя линия соединяет середины АВ и ВС, то основание АС треугольника равно 2•5=10. 
Тогда сумма равных боковых сторон равна 40-10=30, и каждая из них 
30:2=15 см. 

Средняя линия может соединять и середины одной боковой стороны и основания. Рассмотрим такой случай для данного условия. 
Пусть средняя линия равна половине боковой стороны АВ. Тогда каждая боковая равна 2•5=10, их сумма 20 см, и на основание останется 40-20=20 см. Из неравенства треугольника: любая сторона меньше суммы двух других.
Следовательно, для данного треугольника основание равно 10 см, боковые стороны по 15 см.