Ычисли стороны и площадь прямоугольника, если его диагональ равна 6√3 мм и образует с меньшей стороной угол 60 градусов.

Большая сторона равна
мм.
Меньшая сторона равна
−−−−−√ мм.
Площадь прямоугольника равна
−−−−−−−√ мм2.

(Если необходимо, ответы округли до сотых.)

Теорема косинусов для треугольника AМC

AC^2=AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC

 

Теорема косинусов для треугольника BМC

BC^2=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC

 

AC=BC (треугольник равносторонний) Тогда AC^2=BC^2

 

AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC

AM^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2-2*BM*CM*cosBMC

 

АМ и ВM знаем

22^2-2*22*CM*cosAMC=10^2-2*1010*CM*cosBMC

484-44*CM*cosAMC=100-20*CM*cosBMC

 

Углы ВМС и ВАС равны, опираются на одну дугу. ВАС=60 - равносторонний треугольник.

Угол АМС=АМВ+ВМС=АСВ+ВАС=60+60=120

 

484-44*CM*cos120=100-20*CM*cos60

484-44*CM*(-1/2)=100-20*CM*1/2

484+22*CM=100-10*CM

32*CM=-384

СМ=нет (отрицательное)

1) Обозначим точку пересечения прямой BE и диагонали как М.
Рассмотрим ∆AME и ∆BMC.
∠AMC = ∠BMC - как вертикальные
∠EAC = ∠BCA - как накрест лежащие.
Значит, ∆AME~∆CMB - по I признаку.
Из подобия треугольников => AE/BC = AM/MC
AE = 1/2AD = 1/2BC.
1/2 = AM/MC = AM/(AC - AM)
2AM = AC - AM
3AM = AC
AM = 3AC
Значит, AM:MC = 1:2.

2) SABD = SBCD, т.к. площади равных фигур равны.
SAEB = SBED, т.к. медиана BE делит треугольник ABD на два равновеликих треугольника AEB и BED.
Тогда SAEB = 1/2SABD = 1/4SABCD
SEDCB = SABCD - SAEB = SABCD - 1/4SABCD = 3/4SABCD
SAEB/SEBCD = (1/4)/(3/4) = 1:3
ответ: 1:2; 1:3.