∠AВC = 60°.
Объяснение:
Пусть в равнобедренном треугольнике АRP (АR = RP) угол ∠А = α. => ∠RPA = ∠ARP = α.
Внешний угол этого треугольника ∠PRS равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, углов: ∠PRS = 2α.
В равнобедренном треугольнике RPS (RP = PS)
∠PSR = ∠PRS = 2α. ∠RPS = 180° - 4α (по сумме внутренних углов треугольника).
Углы APR, RPS и SPQ составляют развернутый угол и значит APR + RPS + SPQ = 180°.
∠SPQ = 180° - (180° - 4α) - α = 3α.
В равнобедренном треугольнике PSQ (PS = SQ) углы при основании равны => ∠PQS = ∠SPQ = 3α.
Угол PSQ = 180° - 6α (по сумме внутренних углов треугольника).
Углы PSR, PSQ и QSC составляют развернутый угол и значит
∠QSC = 180° - 2α - (180° - 6α) = 4α.
В равнобедренном треугольнике SQC (QC = SQ) углы при основании равны => ∠QCS = ∠QSC = 4α. Тогда ∠SQC = 180° - 8α.
Углы PQS, SQC и CQB составляют развернутый угол и значит
∠CQB = 180° - 3α - (180° - 8α) = 5α.
В равнобедренном треугольнике QCB (QC = CB) углы при основании равны => ∠QBC = 5α.
Тогда в четырехугольнике SQBC ∠SQB = ∠SQC + ∠CQB или
∠SQB = 180° - 8α + 5α = 180° - 3α.
Сумма внутренних углов четырехугольника равна 360°.
Тогда ∠QSC+∠SQB+∠QBC+∠SCB = 360°. Или
4α +180° - 3α +5α+108° = 360°. => 6α = 72° => α = 12°.
∠AВC = ∠QBC = 5α = 60°.
Если все боковые грани наклонены к основанию под одинаковыми углами, то проекции высот боковых граней на основание - это радиусы r вписанной в основание окружности.
Высота основания к стороне 6 см равна √)5² - (6/2)²) = 4 см.
Площадь основания So = (1/2)*6*4 = 12 см².
Периметр основания Р = 2*5 + 6 = 16 см. полупериметр р = 16/2 = 8 см.
Радиус вписанной окружности r = S/p = 12/8 = 1,5 см.
Высота наклонной грани hн = r/cos 60° = 1.5/(1/2) = 3 см.
Площадь боковой поверхности Sбок = (1/2)Рhн = (1/2)*16*3 = 24 см².
Sполн = 12 + 24 = 36 см².
