α-тупой угол, диагональ АС разбивает параллелограмм на два равных треугольника, в треугольнике АВС есть три угла α;β; (180-(α+β)); sin(180-(α+β))=sin(α+β)=sinα*cosβ+sinβ*cosα
cosβ=√(1-sin²β)=√(1-64/289)=√(225/289)=15/17;
cosα=-√(1-sin²α)=-√(1-144/169)=-√(25/169)=-5/13;
sin(α+β)=(12/13)*(5/17)-(8/17)*(5/13)=(60-40)/(17*13)=20/(17*13);
По следствию из теоремы синусов АС/sin(180-(α+β))=BC/sinα=AB/sinβ;
5/(20/17*13)= BC/sinα; BC=5*17*13*12/(13*20)=51
5/(20/17*13)=AB/sinβ; АВ=5*17*13*8/(17*20)=26
Значит, площадь равна АВ*АС*sin(α+β)=51*26*(20/17*13)=120
ответ 120,00
Посмотрел на задание, которое Вам предложили в качестве решения в комментариях. Проверил. ответ тот же. )
Объяснение:
ответ: а) 6/√5 (ед. длины). б) 108/√5=21,6√5 (ед. площади)
Объяснение: Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на биссектрисе его угла.⇒ АН - биссектриса угла ВАD, О - центр окружности. ОК и ОЕ - радиусы, проведенные к точкам касания. По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки. АК=АЕ; DE=DH; FK=FH
Примем АК=АЕ равным х. Тогда ЕD=DH=9-х.
а) Рассмотрим рисунок приложения. Угол AFD=∠CDF (накрестлежащие при FA||CD и секущей FD) Но ∠CDF=∠ADF (DF- биссектриса ) ⇒ ∠АFD=∠FDA. ⇒ ∆ FAD – равнобедренный и AF=AD=9.
АН - биссектриса угла равнобедренного треугольника, ⇒ АН – его высота и медиана ( свойство). ⇒ FН=НD=9-х
Аналогично в ∆ КАЕ биссектриса АМ равнобедренного ∆ АКЕ - медиана и высота. ⇒ КМ=МК=4:2=2.
Прямоугольные ⊿ МАЕ и ⊿ НAD подобны по общему острому углу при А. Из подобия следует отношение DH:ЕМ=DA:ЕА.
т.е. (9-х):2=9:х., откуда получаем х²-9х+18=0. По т.Виета х₁+х₂=-(-9)=9; х₁•х₂=18 ⇒ х₁=3; х₂=6
По условию АЕ< AD, поэтому АЕ=3, ED=6
Из ⊿ АНD по т.Пифагора АН=√(AD*-DH*)=√(81-36)=3√5
⊿ АОЕ и ⊿ АDH подобны по общему углу при вершине А, из чего следует ОЕ:DH=AE:AH ⇒ r=AE•DH:AH =3•6:3√5.=6/√5.
б) При условии, что окружность касается стороны BC параллелограмма, диаметр РЕ окружности, вписанной в угол ВАD, будет высотой параллелограмма. S=h•a=2r•AD=(12/√5)•9=108/√5. = 21,6√5 (ед. площади)
