Поскольку у двух образованных треугольников общая высота, то проекции катетов на гипотенузу относятся как 54 : 6 = 9 : 1 и, следовательно, сами катеты относятся как 3 : 1 (отношение проекций катетов на гипотенузу равно квадрату отношений длин самих катетов).
Пусть длина одного катета Х, тогда длина второго катета 3 * Х.
По формуле площади Х * 3 * Х / 2 = 1,5 * X² = 54 + 6 = 60
Тогда Х² = 40 , а Х = √40 = 2 * √10 см. Тогда длина второго катета
3 * 2 * √40 = 6 * √40 см , а длина гипотенузы
√((2*√10)² + (6*√10)²) = √(40 + 360) = √400 = 20 см.
В описанном 4-нике суммы противоположных сторон равны.
MN+PK = NK+MP.
Пусть МP = x, тогда: NK = 7х/6.
Тогда периметр 4-ника:
Р = 2(NK+MP) = 13y/3.
Проведем биссектрисы углов 4-ника, Они пересекутся в т.О - центре вписанной окружности. MNKP состоит из 4-х треугольников:
S(MON) = MN*R/2
S(NOK) = NK*R/2
S(KOP) = KP*R/2
S(MOP) = MP*R/2
Составим сумму площадей и приравняем ее 182.
R*(MN+NK+KP+MP)/2 = 182, и с учетом, что выражение в скобках - периметр - можно записать, как:
7*13у/6 = 182
у = (182*6)/(7*13) = 12
Находим и другие стороны: 7у/6 = 14
Если РК больше MN на 6, то: (в условии это не дописано!) РК+(РК-6) = 12 + 14 2*РК = 32, РК = 16, MN = 10. ответ: 10; 12; 16; 14 см.
