Решение задач по теме «Четыре замечательные точки треугольника»
1. В остроугольном треугольнике АВС серединные перпендикуляры сторон АВ и ВС пересекаются в точке О, ОВ=10 см. Найдите расстояние от точки О до стороны АС, если угол ОАС равен 30°.
2. В треугольнике АВС медианы АА1, ВВ1 пересекаются в точке О и взаимно перпендикулярны. Найдите площадь треугольника АОВ, если АА1=18 см, ВВ1=24см.
3. В остроугольном треугольнике АВС высоты АА1 и СС1 пересекаются в точке О. Найдите угол ОВА, если угол ОСА= 38°.
4. В треугольнике МНК биссектрисы пересекаются в точке О. Расстояние от точке О до стороны МН=6см, НК= 10 см. Найдите площадь треугольника НОК.
5. В треугольнике АВС медианы ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О и равны 15 см и 18 см соответственно. Найдите периметр треугольника АВС, если угол ВОС = 90°.
Геометрия 8 класс ​

А) Пусь прямые параллельные А и В пересечены секуещей С.Докажем, что соотственные углы, например 1 и 2 равны. Так как А параллельна В, то накрест лежащие углы 1 и 3 равны. Углы 2 и 3 равны как вертикальные.Из равенств угол 1 = 3 и 2 = 3 следует что, угол 1 = 2. 
б) Пусть прямые параллельные А и В пересечены секущей С.Докажем, например что угол 1+4=180 градусов, так как А параллельна В, то соответственные углы 1 и 2 равны. Углы 2 и 4 смежные,поэтому угол 2 +4 = 180 градусов. Следует, что угол 1 + 4 = 180 градусов

Проведем МТ⊥АВ, МК⊥ВС, МН⊥АС. Тогда МТ = МК = МН, так как точка М равноудалена от сторон треугольника (расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую).

Проведем МО⊥АВС, тогда МО = 3 см, расстояние от точки М до плоскости АВС.

Соединим точку О с точками Т, К и Н. ОТ, ОК и ОН - проекции соответствующих наклонных на плоскость АВС и так же перпендикулярны сторонам треугольника по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах.

Если наклонные, проведенные из одной точки, равны, то равны и их проекции. Значит точка О равноудалена от сторон треугольника, и значит О - центр окружности, вписанной в треугольник АВС, ОТ = ОК = ОН = r - радиус вписанной окружности.

Sabc = pr, где р - полупериметр.

p = (AB + BC + AC) / 2 = (13 + 15 + 14) / 2 = 42 / 2 = 21 см

Найдем площадь треугольника по формуле Герона:

Sabc = √(p(p - AB)(p - BC)(p - AC))

Sabc = √(21 · (21 - 13) · (21 - 15) · (21 - 14)) = √(21 · 8 · 6 · 7) = √(3 · 7 · 4 · 2 · 2 · 3 · 7) =

= 3 · 7 · 2 · 2 = 84 см²

r = S / p = 84 / 21 = 4 см

ΔMOK: ∠MOK = 90°, по теореме Пифагора:

              МК = √(МО²+ ОК²) = √(3² + 4²) = √25 = 5 см