1. Рисуем плоскости (в виде полуприкрытой книги).
В верхней плоскости выбираем точку А и опускаем из неё перпендикуляр АС на нижнюю плоскость. АС=6 см.
Из точки А проводим перпендикуляр АВ к линии пересечения плоскостей.
АВ=12 см.
Получаем прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С.
Находим угол В через его синус: sinB=AC:AB
sinB=6:12=1/2
B=30 град - это и есть угол между плоскостями.
2.
Даны точки М(3;0;-1), К(1;3;0), Р(4;-1;2). Найдите на оси Ох такую точку А, чтобы векторы МК и РА были перпендикулярны.
вектор МК(1-3;3-0;0+1)=(-2;3;1)
вектор РА(4-х;-1-у; 2-z)
A принадлежит оси ОХ, начит её координаты равны А(х;0;0)
вектор РА(4-х;-1-0; 2-0)=(4-х; -1;2)
векторы перпендикуляны, когда их произведение равно 0.
МК*РА=-2(4-х)+3(-1)+1*2=0
-2(4-х)-3+2=0
-8+2х-1=0
2х=9
х=4,5
А(4,5;0;0) - искомая точка
3. Можно воспользоваться рисунком из первой задачи, причём в верхней плоскости изобразить равносторонний треугольник АВС, основание которого АВ лежит на линии пересечения плоскостей.
1)Из вершины С опускаем два перпендикуляра, один СН на нижнюю плоскость, а второй СF - к линии пересечения плоскостей.
2)Треугольник АВС-равносторонний (по условию), АВ=ВС=АС=m
Высота AF треугольника АВС равна sqr(m^2-(m/2)^2)=msqr(3)/2
3)Теперь найдём расстояние от третьей вершины треугольника до плоскости альфа: АН=sin фи * msqr(3)/2
Рисунок к решению в прикреплённом файле.
Решение. Т.к. АВС - правильный треугольник, то: а) его медианы совпадают с высотами и биссектрисами и пересекаются в его центре (центре вписанной в него окружности); б) радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: r=a/(2*3^(1/2)) (а делённое на 2 корня из 3-х), где а - сторона треугольника.
В прямоугольном трегольнике МОК: ОК = r = 6*3^(1/2) / (2*3^(1/2)) = 3 см,
ОМ=4 см - по условию. Тогда: MK^2 = OK^2 + OM^2 = 3^2 + 4^2 = 9+16 = 25, а MK = 25^(1/2) = 5 см.
В треугольнике МВА, МК - высота. Тогда его площадь равна:
S = 1/2 * (AB * MK) = 1/2 * (6*3^(1/2) * 5) = 15 * 3^(1/2) см2 (15 корней их 3-х см квадратных)
