В треугольнике ABC MN-средняя линия, M принадлежит AB, N принадлежит BC, О - точка пересечения медиан.

3) Три вершины ромба находятся в точках A, B и C. Определите координаты четвертой вершины.
4) Докажите, что точка K (2; -3) принадлежит медиане AN и делит её в отношении 1:2​

Переводим всё в одни и те же единицы измерения, сантиметры
Основания 60 см 20 см
боковые стороны 13 см 37 см
Если высота трапеции h, то боковые стороны вместе со своими проекциями и высотами образуют прямоугольные треугольники
И по теореме Пифагора можно вычислить проекции на основание боковых сторон
для коротенькой стороны
p₁² + h² = 13²
для длинной
p₂² + h² = 37²
и сумма проекция и короткой стороны равна большей стороне
p₁ + p₂ + 20 = 60
p₁ + p₂ = 40
p₂ = 40 - p₁
---
p₁² + h² = 13²
(40 - p₁)² + h² = 37²
---
вычтем из второго первое
(40 - p₁)² - p₁² = 37² - 13²
(40 - p₁ - p₁)(40 - p₁ + p₁) = (37 - 13)(37 + 13)
(40 - 2p₁)40 = 24*50
40 - 2p₁ = 6*5
20 - p₁ = 3*5
20 - p₁ = 15
p₁ = 5 см
---
p₁² + h² = 13²
5² + h² = 13²
h² = 169 - 25
h² = 144
h = 12 см
---
И площадь трапеции
S = 1/2(60 + 20)*12 = 80*6 = 480 см²

ABCD - трапеция
AD = 6 дм = 60 см
ВС = 2 дм - 20 см
АВ = 0,13 м = 13 см
CD = 0,37 м = 37 см
ВK и СМ - высоты из В и С к AD.
Треугольники АВК и СМD:
BK^2 = AB^2 - AK^2
CM^2 = CD^2 - MD^2
BK = CM =>
AB^2 - AK^2 = CD^2 - MD^2
13^2 - AK^2 = 37^2 - MD^2
MD^2 - AK^2 = 37^2 - 13^2 = (37+13)(37-13) = 50*24 = 1200 =>
MD^2 - AK^2 = 1200 (1)
Сторона AD:
AD = AK + KM + MD
KM = BC = 20 cм =>
60 = AK + 20 + MD
AK + MD = 40 =>
MD = 40 - AK => в ур-ние (1)
(40 - AK)^2 - AK^2 = 1200
1600 - 80*AK + AK^2 - AK^2 = 1200
80*AK = 1600 - 1200 = 400
AK = 400\80 = 5 см =>