Трикутник АВС і А1В1С1 подібні причому сторонам АВ і ВС відповідають сторони А1В1 і В1С1 . Знайдіть невідомі сторони цих трикутників якщо ВС=5 АВ=6 В1С1=15 А1С1=21

< B =90° ; <A =40°; <LAB =<LAC =<A/2 =20° (<KAB =<KAC) ; L∈BC ; BM=MC ; MK┴ BC.

<BCK =<MCK =α  -?
Точка K находится вне треугольника (на продолжении  биссектрисы AL  и  MK _среднего перпендикуляра стороны  BC).
Из ΔСMK :  tqα  = MK/MC =MK/(AB/2) =2MK/AB.

Из ΔABL:   BL =AB*tq<LAB =AB*tq20° ;
ML =BM - BL = BC/2 - <BL = (AB*tq40°)/2 - AB*tq20°= (AB/2)*tq40°-AB*tq20° =
=(AB/2)*2tq20°/(1-tq²20°)  - AB*tq20° =
=(AB/2)*tq20°(2/(1-tq²20°) -2) =(AB/2)*2tq³20°/(1 -tq²20°)=(AB/2)*tq²20°*tq40°.

MK | | BA ; <LKM = <LAB =20° ;    
Из ΔKML:  MK =ML*ctq<LKM⇔MK=AB/2)*tq²20°*tq40°*ctq20° =(AB/2)*tq20*tq40°;
окончательноьно : 
 tqα  = 2MK/AB = 2*(AB/2)*tq20*tq40°/ AB =tq20°*tq40°.
   ответ : α  = arctq (tq20°*tq40°) .
(пример некрасивого решения)

< B =90° ; <A =40°; <LAB =<LAC =<A/2 =20° (<KAB =<KAC) ; L∈BC ; BM=MC ; MK┴ BC.

<BCK =<MCK =α  -?
Точка K находится вне треугольника (на продолжении  биссектрисы AL  и  MK _среднего перпендикуляра стороны  BC).
Из ΔСMK :  tqα  = MK/MC =MK/(AB/2) =2MK/AB.

Из ΔABL:   BL =AB*tq<LAB =AB*tq20° ;
ML =BM - BL = BC/2 - <BL = (AB*tq40°)/2 - AB*tq20°= (AB/2)*tq40°-AB*tq20° =
=(AB/2)*2tq20°/(1-tq²20°)  - AB*tq20° =
=(AB/2)*tq20°(2/(1-tq²20°) -2) =(AB/2)*2tq³20°/(1 -tq²20°)=(AB/2)*tq²20°*tq40°.

MK | | BA ; <LKM = <LAB =20° ;    
Из ΔKML:  MK =ML*ctq<LKM⇔MK=AB/2)*tq²20°*tq40°*ctq20° =(AB/2)*tq20*tq40°;
окончательноьно : 
 tqα  = 2MK/AB = 2*(AB/2)*tq20*tq40°/ AB =tq20°*tq40°.
   ответ : α  = arctq (tq20°*tq40°) .
(пример некрасивого решения)