7. В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. Найдите угол МPN.

8. На стороне треугольника отмечены точки и так, что Докажите, что если , то .

9. На биссектрисе BD равнобедренного треугольника АВС с основанием АС отмечена точка О, на отрезке AD - точка М и на отрезке СD - точка К, причем DM = DK. Найдите угол MOD, если угол СКО равен 110°

Проведем ВН⊥α.
Тогда АН - проекция гипотенузы АВ на плоскость α.
АН - искомая величина.

ВС⊥АС как катеты прямоугольного треугольника,
НС - проекция ВС на плоскость α, значит
НС⊥АС по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах.
∠ВСН = 30° - линейный угол двугранного угла между плоскостью треугольника и плоскостью α.

ΔВСН: ∠ВНС = 90°, ВН = ВС/2 = 4/2 = 2 см как катет, лежащий напротив угла в 30°.

ΔАВС: ∠АСВ = 90°, по теореме Пифагора
             АВ = √(АС² + ВС²) = √(4² + 4²) = 4√2 см

ΔВНА: ∠ВНА = 90°, по теореме Пифагора
             АН = √(АВ² - ВН²) = √(32 - 4) = √28 = 4√7 см

 Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая наклонена к 
плоскости основания под углом 30°. Найдите:
а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми 60°;

Плоскость сечения ограничена по бокам двумя образующими. 
Следовательно, это равнобедренный треугольник.
Угол между образующими= 60°.
Следовательно, сечение представляет из себя равносторонний треугольник, .Площадь равностороннего треугольника можно найти несколькими а) по классической формуле
S=ah:2
б)   по формуле Герона
в) по формуле площади для равностороннего треугольника,т.е. квадрата стороны, умноженной на синус угла между сторонами, деленному на два. 
S=(a²√3):4 . 
Найдем образующую, которая образует с плоскостью основания угол 30°
АМ=АО:соs (30°)
АМ=6:(√3÷2)=4√3 см
Sсеч=(4√3)²*√3):4=48√3):4=12√3 см²

б) площадь боковой поверхности конуса.
Боковая площадь поверхности круглого конуса равна произведению 
половины окружности основания на образующую 
S=0,5 C* l=π r l,
 где С- длина окружности основания, l-образующая
Sбок=π 6*4√3=24√3 см²