ВD – биссектриса прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С. Доказать, что точка D равноудалена от прямых ВС и АВ. (из точки D проведите перпендикуляр к AB).

Треугольники АВ1В и АА1В прямоугольные с общей гипотенузой АВ, значит оба они вписаны в одну окружность с диаметром АВ.
Точка О - центр окружности. АО=ВО=АВ/2=4/2=2.
В тр-ке АА1В1 ОА1=ОВ1=R=2.
По теореме косинусов cos(А1ОВ1)=(ОА1²+ОВ1²-А1В1²)/(2·ОА1·ОВ1)= (2²+2²-(2√3)²)/(2·2·2)=-4/8=-1/2.
∠А1ОВ1=arccos(-1/2)=120°.
Если точка пересечения двух секущих к окружности находится вне окружности, то угол между секущими равен половине разности дуг, которые они высекают. В нашем случае АС и ВС - секущие, значит:
∠АСВ=(∩АВ-∩А1В1)/2=(180°-120°)/2=30° - это ответ. 

Жетысу – одна из несравненных частей казахской земли. Эту землю не зря называют “золотой колыбелью”. Именно на этой территории древней Казахии казахи, как народ, обрели нынешнее свое самоназвание. Именно тут завершилось формирование нации. Здесь образовалось казахское ханство. Впервые на исторической сцене прозвучало имя народа. На этой земле жили древние племена саков, уйсуней и канлы, – основа казахской нации, составляющие этническую структуру народа. По этим и многим другим причинам Жетысу является древней золотой колыбелью казахов.

Также Жетысу можно называть “золотой колыбелью” по той причине, что его природа благоприятна для развития всего живого, а земля отличается плодородием. Помимо семи крупнейших рек на этой территории находятся более тысячи больших и малых водоемов: рек и озер. Не зря в народе говорят: “Там где вода – там и изобилие”. Произрастают густые леса и тугайники. Высятся пестрые горы Алатау, седые вершины которых подпирают темно-синие небеса. Прозрачные воды рек, берущих начало с тающих в течение всего лета ледников, являются целебными как для человека, так и для всего живого.