Зовнішні кути 5-кутника відносяться як 1 : 2 : 4 : 5 : 6 . Знайти найбільший ( внутрішній) кут 5-кутника.

Параллелограмм АВСД, АМ и ДМ - биссектрисы углов А и Д. УголА=уголС, уголВ=уголД, уголА+уголД=180, 1/2уголА+1/2уголД=180/2=90, треугольник АМД, уголАМД=180-(1/2уголА+1/2уголД)=180-90=90, треугольник АМД прямоугольный, АМ перпендикулярна МД и НД (Н - вместоN), только в равнобедренном треугольнике биссектриса=высоте, АМ-биссектриса=высота=медиана, АН=АД=10, уголАНД=уголАДН, уголВАМ=уголМАД, уголМАД=уголАМВ - как внутренние разносторонние, треугольник АВМ равнобедренный, АВ=ВМ, уголАДМ=уголВМН как соответственные=уголАНД, треугольник ВНМ равнобедренный, ВМ=ВН=АВ, Треугольник АНМ прямоугольный, ВМ-медиана=1/2 гипотенузы АН=10/2=5, АВ=СД=5, периметр=5+10+5+10=30

Треугольник АВЕ равен треугольнику CDF, т.к. АВ=СД, угол 1=углу 2, как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и СД и секущей АС. Треугольники прямоугольные равны по гипотенузе и острому углу. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Значит BE=FD. Но они ещё и параллельны, как  2 перпендикуляра к одной прямой. 
Отсюда треугольники DEF и DEF  равны к прямоугольные, по двум катетам. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Против угла F лежит сторона ЕД против угла Е лежит сторона BF. Значит они равны.
А если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то это параллелограмм. Что и требовалось доказать.