1) Длины двух сторон треугольника равны 4 и 6. Сколько различных целых значений может принимать длина третьей стороны этого треугольника?
2) Длина одного из катетов прямоугольного треугольника равна . Найти длину второго катета, если длина медианы этого треугольника, проведенной к гипотенузе, равна 3.

Давайте рассмотрим каждый вопрос по очереди.

1) Длины двух сторон треугольника равны 4 и 6. Сколько различных целых значений может принимать длина третьей стороны этого треугольника?

Мы знаем, что в треугольнике длина каждой стороны должна быть меньше, чем сумма длин двух других сторон. В данном случае, наименьшая сторона равна 4, а другая сторона равна 6. Значит, третья сторона должна быть меньше, чем сумма 4 и 6, то есть меньше, чем 10.

Теперь рассмотрим остальные возможные значения третьей стороны. Если третья сторона равна 5, то треугольник получается существующим, потому что 5 < 4 + 6. Если третья сторона равна 6, то треугольник получается вырожденным или дегенерированным, потому что 6 = 4 + 6. Если третья сторона равна 7, 8 или 9, то треугольник также получается существующим, потому что 7 < 4 + 6, 8 < 4 + 6 и 9 < 4 + 6.

Таким образом, длина третьей стороны может принимать 4 различных целых значения: 5, 7, 8 и 9.

2) Длина одного из катетов прямоугольного треугольника равна . Найти длину второго катета, если длина медианы этого треугольника, проведенной к гипотенузе, равна 3.

Для решения этой задачи, нам нужно использовать медиану, которая делит гипотенузу на 2 равные части. Значит, длина каждой части гипотенузы равна 3.

Мы также знаем, что медиана делит треугольник на два равных треугольника. Значит, длина второго катета должна быть такой же, как длина первого катета.

Используя теорему Пифагора для нахождения длины гипотенузы, мы получаем следующее уравнение: a² + b² = c², где a и b - длины катетов, а c - длина гипотенузы.

Заменяя значения в уравнение, получаем (a/2)² + a² = 3².

Раскрывая скобки и сокращая, получаем a²/4 + a² = 9.

Умножая обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от деления на 4, получаем a² + 4a² = 36.

Складывая сравнимые члены, получаем 5a² = 36.

Деля обе части на 5, получаем a² = 36/5.

Извлекая квадратный корень, получаем a = √(36/5).

Таким образом, длина второго катета равна √(36/5).