Отрезок, соединяющий центр верхнего основания цилиндра с точкой окружности нижнего основания , равен 12 см и образует с плоскостью нижнего основания угол 60 градусов. Найдите объем и площадь боковой поверхности цилиндра.

параллелограмм АВСД, АК/КВ=2/1=2у/у, АЛ/ЛД=1/3=х/3х, АД=х+3х=4х=ВС, ВМ/МС=1/1 или 2х/2х, из точки Л проводим линию ЛЕ параллельную АВ на ВС, АЛ=ВЕ=х=ЕМ, треугольник ВЛМ ЛЕ-медиана которая делит его на два равновеликих треугольника, S ВЛЕ= S ЕЛМ =S, площадь ВЛМ=S ВЛЕ +  S ЕЛМ =2S, АВ=АК+КВ=у+2у=3у, АВМЛ-параллелограм ЛВ-диагональ, площ.АВЛ=площВЛЕ= S, из точки Л проводим высоту ЛТ на АВ, площ.АВЛ=1/2*АВ*ЛТ=1/2*3у*ЛТ, площ.КВЛ=1/2*ВК*ЛТ=1/2*у*ЛТ, площАВЛ/площКВЛ=(1/2*3у*ЛТ)/(1/2*у*ЛТ)=3/1, 3*площ.КВЛ=площАВЛ=S, площКВЛ=S/3, площКВЛ/площВЛМ=(S/3)/2S=1/6

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию (обозначим её АВСД), в которой уже известно нижнее основание АД=2R=2*21=42(см), также известна боковая сторона СД=39 см (она же образующая конуса) и диагональ АС=45 см.

По формуле Герона легко найти площадь треугольника АСД:

p=(AC+CД+АД):2=(45+39+42):2=63(см)

S(АCД)=sqrt{63(63-45)(63-39)(45-42)}=756 (см кв)

Найдём высоту h треугольника АСД:

 h=2S/АД=2*756/42=36(см)

Высота пересекает сторону АД в точке Н. Найдём АН из прямоугольного треугольника АДВ: АН=sqrt{AB^2-AH^2}=sqrt{39^2-36^2}=15(см)

Теперь находим длину верхнего основания ВС:

ВС=АД-2*АН=42-2*15=12(см)

Радиус меньшего основания усечённого конуса равен ВС/2=12/2=6(см)

ответ: 6 см