Обязательно с рисунком

Докажите, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если

1) A(0;2;-3),B(-1;1;1), C(2;-2;-1),D(3;-1;-5)

2) A(2;1;3),B(1;0;7),C(-2;1;5),D(-1;2;1).

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нам нужно проверить два условия:

1) Проверим, являются ли противоположные стороны параллельными.
2) Проверим, являются ли противоположные стороны равными.

Начнем с задания номер 1:

1) Для этого задания у нас есть координаты вершин A(0;2;-3), B(-1;1;1), C(2;-2;-1), D(3;-1;-5).

a) Вычислим вектора AB и CD:

Вектор AB = (xB - xA, yB - yA, zB - zA) = (-1 - 0, 1 - 2, 1 - (-3)) = (-1, -1, 4).
Вектор CD = (xD - xC, yD - yC, zD - zC) = (3 - 2, -1 - (-2), -5 - (-1)) = (1, 1, -4).

b) Теперь проверим, являются ли эти векторы параллельными. Для этого можно использовать свойство параллельных векторов: если векторы параллельны, их координаты могут быть пропорциональными.

Для этого сравним отношения координат двух векторов:
AB_x/CD_x = -1/1 = -1,
AB_y/CD_y = -1/1 = -1,
AB_z/CD_z = 4/-4 = -1.

Все отношения координат равны -1, что означает, что векторы AB и CD пропорциональны и, следовательно, параллельны.

2) Для проверки второго условия, равенства противоположных сторон, у нас есть координаты вершин A(0;2;-3), B(-1;1;1), C(2;-2;-1), D(3;-1;-5).

a) Вычислим длины сторон AB, BC, CD и DA, используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

AB = √((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2 + (zB - zA)^2) = √((-1 - 0)^2 + (1 - 2)^2 + (1 - (-3))^2) = √(1 + 1 + 16) = √18.
BC = √((xC - xB)^2 + (yC - yB)^2 + (zC - zB)^2) = √((2 - (-1))^2 + (-2 - 1)^2 + (-1 - 1)^2) = √(9 + 9 + 4) = √22.
CD = √((xD - xC)^2 + (yD - yC)^2 + (zD - zC)^2) = √((3 - 2)^2 + (-1 - (-2))^2 + (-5 - (-1))^2) = √(1 + 1 + 16) = √18.
DA = √((xA - xD)^2 + (yA - yD)^2 + (zA - zD)^2) = √((0 - 3)^2 + (2 - (-1))^2 + (-3 - (-5))^2) = √(9 + 9 + 4) = √22.

b) Теперь сравним длины сторон AB и CD, а также сторон BC и DA:

AB = CD = √18,
BC = DA = √22.

Строны AB и CD, а также BC и DA равны, что означает, что противоположные стороны параллелограмма ABCD равны.

Таким образом, на основании проведенных проверок, мы можем заключить, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Теперь перейдем к заданию номер 2:

1) Для этого задания у нас есть координаты вершин A(2;1;3), B(1;0;7), C(-2;1;5), D(-1;2;1).

Мы выполняем те же шаги, что и в первом задании:

a) Вычислим векторы AB и CD:

Вектор AB = (xB - xA, yB - yA, zB - zA) = (1 - 2, 0 - 1, 7 - 3) = (-1, -1, 4).
Вектор CD = (xD - xC, yD - yC, zD - zC) = (-1 - (-2), 2 - 1, 1 - 5) = (1, 1, -4).

b) Теперь проверим, являются ли эти векторы параллельными. Для этого можно использовать свойство параллельных векторов:

AB_x/CD_x = -1/1 = -1,
AB_y/CD_y = -1/1 = -1,
AB_z/CD_z = 4/-4 = -1.

Все отношения координат равны -1, что означает, что векторы AB и CD пропорциональны и, следовательно, параллельны.

2) Вычисляем длины сторон AB, BC, CD и DA:

AB = √((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2 + (zB - zA)^2) = √((-1 - 2)^2 + (0 - 1)^2 + (7 - 3)^2) = √(9 + 1 + 16) = √26.
BC = √((xC - xB)^2 + (yC - yB)^2 + (zC - zB)^2) = √((-2 - 1)^2 + (1 - 0)^2 + (5 - 7)^2) = √(9 + 1 + 4) = √14.
CD = √((xD - xC)^2 + (yD - yC)^2 + (zD - zC)^2) = √((-1 - (-2))^2 + (2 - 1)^2 + (1 - 5)^2) = √(1 + 1 + 16) = √18.
DA = √((xA - xD)^2 + (yA - yD)^2 + (zA - zD)^2) = √((2 - (-1))^2 + (1 - 2)^2 + (3 - 1)^2) = √(9 + 1 + 4) = √14.

Сравним длины сторон AB и CD, а также сторон BC и DA:

AB = CD = √26,
BC = DA = √14.

Строны AB и CD, а также BC и DA не равны, следовательно, противоположные стороны параллелограмма ABCD не равны.

Таким образом, мы не можем заключить, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Надеюсь, это поможет тебе понять, как доказать, является ли четырехугольник параллелограммом или нет. Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся задавать!