При переміщенні прямокутний трикутник ABC з катетами AC=5см і ВС=12 см
перейшов у трикутник А'В'С'. Знайдіть сторони трикутника A'B'С'.

​

Пусть наш куб   имеет длину ребра  ,  середина точка  ,  так как самая удаленная вершина всегда будет симметрична , какую  бы точку не взять на  середине   ребра данного куба , рассмотрим когда точка лежит , на ребре   
Теперь надо понять как он должен двигаться , с начало в какую сторону  , видно  что  самое удаленная вершина это  точка  , так же и другая есть симметричная  ей   , но будет рассматривать  . 
так как      то есть можно не рассматривать вариант когда паук ползет в сторону  , рассмотрим вариант  когда он ползет к стороне   ,  когда паук ползет  к вершине  , очевидно что расстояние    равно   , пусть есть некая точка  , которая принадлежит  ,   по неравенству треугольников     
  выразим расстояние , когда паук ползет через точку
  она равна     
   получили функцию   
 которая имеет критическую точку   (находится через производную )  ,  минимум  , что меньше  выше сказанного расстояния  
  ответ  Паук должен с начало придти к   , потом   к      это есть кратчайшее расстояние  
 

1) По теореме Пифагора:

  АВ² = АС² + ВС²

АВ² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289

АВ = √289 = 17 см

2) Прямая а и наклонные АВ и АС.

АВ = АС по условию.

В и С - основания наклонных, значит найти надо отрезок ВС.

Пусть АН⊥а, тогда ВН = 16 см - проекция наклонной АВ на прямую а.

ΔАВС равнобедренный, АН - высота и медиана (по свойству равнобедренного треугольника), ⇒

ВС = 2ВН = 2 · 16 = 32 см

3) Доказать: AD + BC < AC + BD

В треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других его сторон.

ΔAOD:   AD < AO + OD

ΔBOC:   BC < BO + OC

Складываем эти неравенства:

AD + BC < AO + OD + BO + OC, ⇒

AD + BC < AC + BD