Искомая площадь состоит из трех равных площадей треугольников, у которых есть высота - апофема боковой грани, нужно найти сторону основания. И тогда площадь боковой поверхности равна 3а*L/2, где а - сторона основания. Если соединить основание апофемы и и высоты пирамиды, получим проекцию апофемы на плоскость основания, и она равна (1/3) высоты треугольника, лежащего в основании. Зная апофему и угол между апофемой и высотой, найдем эту проекцию. Она равна L*sinα=а√3/2, отсюда сторона основания а =2L*sinα/√3=
2L*sinα*√3/3
Значит, площадь боковой поверхности равна (3*2L*sinα*√3/3)*L/2=
L²*√3sinα/ед. кв./
Дана правильная четырехугольная пирамида SАВСД, длина бокового ребра которой равна L = 3 см, а стороны основания a = 2√3 см.
Проведём осевое сечение через 2 боковых ребра.
В сечении равнобедренный треугольник АSС с боковыми сторонами L = 3 см и основанием - диагональ квадрата основания d = a√2 = (2√3)*√3 = 2√6 см.
Высота Н пирамиды равна:
Н = √(L² - (d/2)²) = √(9 - 6) = √3 см.
Перпендикуляр из центра основания пирамиды на боковое ребро (пусть это ОК) - это высота треугольника ОSС, она равна (√3*√6)/3 = √2 см.
Искомый угол лежит в перпендикулярном сечении к боковому ребру.
В сечении - треугольник ВКД.
Апофема А = √(3² - (2√3/2)²) = √(9 - 6) = √3 см.
КД - высота, она равна 2S/L = (2*((1/2)*2√3*√6))/3 = 2√2 см.
То есть она как гипотенуза треугольника ОКД в 2 раза больше катета ОК, а угол КДО равен 30 градусов.
Отсюда искомый угол ВКД равен 2*60 = 120 градусов.
