Дан ромб ABCD
AC, BD -диагонали
т. О - пересечение диагоналей
через т. К проведена прямая,которая пересекает BC в т. L, тогда по условию задачи площадь ΔKBL=1
Пусть KL пересекает BD в т. R, тогда ΔKBR=ΔBRL и площадь ΔKBR=1/2=0,5
Поскольку ΔDAB - равнобедренный, то центр ее вписанной окружности лежит на высоте AO
KB=BO, как касательные,выходящие с одной точки(B)
Диагонали ромба делят его на 4 равных треугольника,в нашем случае площадь одного такого треугольника равна 18/4=4,5
То есть площадь ΔABO=4,5
ΔABO и ΔKRB подобные и их площади относятся как квадраты подобных сторон
Пусть OB=x,тогда и KB=x, тогда
Sabo/Skbr = (AB)^2/(KB)^2
4,5/0,5=(ab)^2/x^2
9x^2=(AB)^2
AB=3x
sin(BAC)=sin(BAD)=BO/AB=x/3x=1/3
Косинусы углов будем находить по формуле:
cos A = (x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂)/(√(x₁²+y₁²+z₁²) * √(x₂²+y₂²+z₂²))
а)
cos A = (0*(-4)+(-1)*(-1)+1*(-1))/(√(0²+(-1)²+1²) * √((-4)²+(-1)²+(-2)²))
= (0+1-1)/(√(1+1) * √(16+1+4))= 0
cos В = ((-3)*(-4)+(-5)*(-1)+1*(-2))/(√((-3)²+(-5)²+1²) * √((-4)²+(-1)²+(-2)²))=
= (12+5-2)/(√(9+25+1) * √(16+1+4))=15/(√35 * √21)= 15/(7√15)= √15/7
cos С = (0*(-3)+(-1)*(-5)+1*1)/(√(0²+(-1)²+1²) * √((-3)²+(-5)²+1²))=
= (0+5+1)/(√(1+1) * √(9+25+1))= 6/(√2 * √35)= 6/√ 70
б)
cos A = (2*0+(-1)*1+1*3)/(√(2²+(-1)²+1²) * √(0²+1²+3²))=
= (0-1+3)/(√(4+1+1) * √(0+1+9))=2/(√6 * √10)= 1/√15
cos В = (0*(-1)+1*1+3*0)/(√(0²+(-1)²+1²) * √((-1)²+1²+0²))=
= (0+1+0)/(√(0+1+1) * √(1+1+0))= 1/(√2 * √2)=1/2
cos С = (2*(-1)+(-1)*1+1*0)/(√(2²+(-1)²+1²) * √((-1)²+1²+0²))=
= (-2-1+0)/(√(4+1+1) * √(1+1+0))= (-3)/(√6 * √ 2)= (-3)/(2√3)= -√3/2
