Египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5 активно применялся для построения прямых углов землемерами и архитекторами.
Название треугольнику с таким отношением сторон дали эллины: в VII - V веках до н. э. греческие философы и общественные деятели активно посещали Египет. Так, например, Пифагор в 535 до н. э. по настоянию Фалеса для изучения астрономии и математики отправился в Египет — и, судя по всему, именно попытка обобщения отношения квадратов, характерного для египетского треугольника, на любые прямоугольные треугольники и привела Пифагора к формулировке и доказательству его знаменитой теоремы.
Для построения прямого угла использовался шнур или верёвка, разделённая отметками (узлами) на 12 (3+4+5) частей: треугольник, построенный натяжением такого шнура, с весьма высокой точностью оказывался прямоугольным и сами шнуры-катеты являлись направляющими для кладки прямого угла сооружения.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия.
Так как площади треугольников относятся, как 2:1 (площадь большего к площади меньшего ), то коэффициент подобия - √2
Половина основания большего треугольника равна 24:1=12
Основание меньшего Δ равно
12:√2
Это - дробь 12/√2. Умножив числитель и знаменатель этой дроби на √2, получим длину меньшего основания 6√2
Подрисуем к боковой стороне меньшего треугольника такой же точно до получения прямоугольника с диагональю аb. (Можно не подрисовывать, но так нагляднее в сделанном мной рисунке).
Высота меньшего треугольника лежит против угла 30 °. Следовательно, сторона аb больше этой высоты в 2 раза.
Обозначим высоту х, сторону 2х.
По теореме Пифагора
х²=4х²- (6√2)²
3х²=72
х=√24=2√6
аb=2х=4√6
