.
Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если A(16;4), B(17;6), C(13;8) и D(12;6).

SABCD=

1) Опустим из А высоту АН. АН=АВ*sin 60º=2√3BH=AB*sin30º=2 
HC=BC-BH=6-2=4
 По т.Пифагора АС=√(АН²+НС²)= √(16+12)=2√7 
Прямоугольные  ∆ ВDС и ∆ АНС подобны по общему острому угу С. BC:AC=BD:AH 
6:2√7=BD:2√3 
BD=12√3:2√7=(6√3):√7 или (6√21):7

2) Найдем АС как в первом решении. 
Площадь треугольника АВС 
S=AC*BD:2 
S=AH*BC:2 
Т.к.площадь одной и той же фигуры, найденная любым одна и та же, приравняем полученные выражения: 
AC*BD:2=AH*BC:2 
(2√7)*BD:2=(2√3)*6:2 
BD=(12√3):(2√7)=(6√3):√7 или (6√21):7
--
АС можно найти и по  т.косинусов,  а площадь  ∆ АВС по формуле S=a*b*sinα:2

В трапеции ABCD боковые стороны AB=CD=13 см, .основания BC=15см ,AD=21 . ОПУСТИМ на основание АD высоты BE И СF. тогда EF=BC=15см  
              AD-EF                    36 - 12      
AE=FD=     2        =         =         2      =     12  см       
            применив теорему пифагора к прямоугольному треугольнику ABE найдём высоту BE 
                 BE²=AB²-AE²=13²-12²=169-144= 25  или BE=5 см 
найдем  площадь трапеции    :
                      S ( ABCD)= (BC+AD): 2  ×BE=(15+21):2×5 =36:2×5=90см² ответ: 90 см ²