В задачах на построение используется линейка без делений. Так что циркуль нам понадобится для решения всех пунктов.
а)Делим угол ВАС пополам. Для этого циркулем проводим окружность произвольного радиуса с центром в точке А и затем из точек пересечения D и E этой окружности с прямыми АВ и АС радиусом DE проводим окружности. Соединяем точки пересечения этих окружностей прямой F1F и продолжаем ее до пересечения со стороной ВС. В точке пересечения ставим точку К. Биссектриса АК угла А построена. Доказательство. Треугольник ADE равнобедренный (AD=AE - радиусы), а прямая F1F перпендикулярна прямой DE и делит ее пополам (свойство общей хорды двух пересекающихся окружностей). Следовательно, прямая F1F проходит через точку А и делит угол А пополам, так как высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника - это один и тот же отрезок (свойство).
б). Воспользуемся предложенной в пункте а) методикой построения прямой, делящей отрезок пополам. Из точек А и С проведем окружности одинаковых радиусов, больших половины отрезка АС. Соединяем точки пересечения этих окружностей прямой и в точке пересечения этой прямой и отрезка АС ставим точку М. Точка М делит отрезок АС пополам по свойству общей хорды пересекающихся окружностей. Соединив точки В и М, получаем медиану ВМ треугольника АВС.
в) Строим прямую, проходящую через точку С и перпендикулярную стороне АВ.Для этого из точки С проведем окружность радиусом, равным большей из сторон СА и СВ ( в нашем случае R=СВ), пересекающую прямую АВ в точках В и В1. Затем делим отрезок В1В пополам указанным выше и получаем точку Н, соединив которую с точкой С, получаем высоту СН.
