DOA = 70°. Дано в задаче.
BOC = DOA = 70°. Вертикальные углы равны (1).
DOC = 180° - 70° - 110°. Смежные углы в сумме дают 180° (2).
AOB = DOC = 110°. (1).
ODC = (180° - 110°) / 2 = 35°. Сумма углов треугольника равна 180° (3). Если треугольник равнобедренный, то углы при его основаниях равны (4).
ADO = 90° - 35° = 55°. Два угла составляют прямой угол (5).
OAD = ADO = 55°. (4).
OAB = 90° - 55° = 35°. (5).
OBA = OAB = 35°. (4).
OBC = 90° - 35° = 55°. (5).
OCB = OBC = 55°. (4).
Все остальные углы состоят из других и их можно посчитать по сумме. Например:
DAB = DAO + BAO = 55° + 35° = 90°.
Замечаем, что диаметр вписанной окружности равен высоте трапеции! (см. чертеж!)
Сумма боковых сторон равна сумме оснований (условие того, что в четырехугольник можно вписать окружность):
AD + BC = 40 см (*)
Опустим из вершины B высоту BB₁ (а из вершины C высоту CC₁) и рассмотрим ΔABB₁ (∠B₁ = 90°). По теореме Пифагора получаем:
AB₁² = 20² - 12² = 8 · 32 = 16² ⇒ AB₁ = 16 см
Но 2 · AB₁ = AD - BC = 32 см (**)
Складывая (*) и (**) получаем:
2 · AD = 72 см ⇒ AD = 36 см, BC = 40 - 36 = 4 см
S = (AD + BC) · BB₁ ÷ 2 = 40 · 6 = 240 см²
