искомое сечение - симметричный четырехугольник BPKL
диагонали PL , BK пересекаются под углом 90 град
по условию
стороны основания AB=BC=CD=AD =4
боковые ребра MA=MB=MC=MD =8
точка К - середина ребра MD ; KD = MD /2 = 8/2=4
ABCD -квадрат
диагональ AC = BD = 4√2
пересечение диагоналей точка F : BF =FD = BD/2 =4√2 /2 =2√2
BK - медиана треугольника MBD
длина медианы BK = 1/2 √(2 BM^2 +2 BD^2 - MD^2 ) =1/2 √(2*8^2 +2*(4√2)^2 - 8^2 ) =4√2
по теореме косинусов
cos KBD = ( KD^2 - (BK^2+BD^2) )/ (-2*BK*BD)= ( 4^2 - ((4√2)^2+(4√2)^2) )/ (-2*4√2*4√2)= 3/4
MF - высота
треугольник EBF - прямоугольный
BE = BF / cos KBD = 2√2 / 3/4 = 8√2/3
KE = BK - BE =4√2 -8√2/3 =4√2/3
по теореме Пифагора EF =√(BE^2 - BF^2) =√( (8√2/3)^2 - (2√2)^2) =2√14/2
MF - высота
треугольник MFB - прямоугольный
по теореме Пифагора MF =√( MB^2 -BF^2) =√( 8^2- (2√2)^2 ) =2√14
ME =MF -EF =2√14 -2√14/2 = 2√14/2
треугольники MPL ~ MCA подобные
PL / AC = ME /MF ; PL = AC * ME /MF = 4√2 * 2√14/2 /2√14 =2√2
площадь сечения(четырехугольника BPKL)
Sс = PL*BK *sin<BEP /2 = 2√2*4√2*sin90 /2 = 8
ответ 8
Если боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью оснований равные углы, их проекции равны радиусу описанной окружности. Поэтому вершина высоты пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности, то есть в точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Основание высоты данной пирамиды – середина гипотенузы.
Каждое ребро пирамиды – наклонная, являющаяся гипотенузой прямоугольного треугольника. Один из катетов этих треугольников– проекция ребра на плоскость основания, второй катет общий у всех этих треугольников, и это высота МН самой пирамиды; по условию она противолежит углу 30°. Проекции этих наклонных – ребер пирамиды – равны медиане СН основания, т.е. половине гипотенузы треугольника АВС основания пирамиды,( свойство медианы прямоугольного треугольника).
Треугольник в основании пирамиды египетский ( т.к. отношение сторон 3:4:5. ), ⇒ АВ=10 см, и по теореме Пифагора АВ=√(8²+6²)=10 см, ВН=АН=АВ:2=5 см, ВМ=АМ=СМ=ВН:cos 30°= 5•2:√3=(10√3):3 = ≈ 5,77 см
