Середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма (теорема Вариньона). Стороны параллелограмма Вариньона параллельны диагоналям четырехугольника и равны их половинам (т.к. являются средними линиями в треугольниках, образованных сторонами и диагоналями).
Диагонали равнобедренной трапеции равны, следовательно стороны параллелограмма Вариньона равны и он является ромбом.
MN - средняя линия в ABC => MN||AC, MN=AC/2. Аналогично LK||AC, LK=AC/2.
MN||LK, MN=LK => MNKL - параллелограмм (противоположные стороны параллельны и равны).
AC=BD, NK=BD/2 => MN=NK => MNKL - ромб (смежные стороны равны).
Данное тригонометрическое выражение обозначим через Т = (1 + tg2α) * sin2α. Рассмотрим те значения α, для которых tgα имеет смысла, то есть пусть α ≠ 90° + n * 180°, где n – целое число.
Воспользуемся формулой tgα = sinα / cosα. Тогда Т = (1 + (sinα / cosα)2) * sin2α = (1 + (sin2α / cos2α)) * sin2α = ((sin2α + cos2α) / cos2α) * sin2α.
Учитывая sin2α + cos2α = 1 (основное тригонометрическое тождество), получим Т = (1 / cos2α) * sin2α = sin2α / cos2α = (sinα / cosα)2 = tg2α.
ответ: Если α ≠ 90° + n * 180° (где n – целое число), то (1 + tg2α) * sin2α = tg2α.
Объяснение:
