Дано:
Окружность (О; r)
∠OBA = 30°
CA — касательная
Найти:
∠BAC — ?
1) Так как радиусы окружности равны, значит, две стороны треугольника ABO равны. ⇒ ΔABO равнобедренный (AO = OB).
У равнобедренного треугольника углы при основании равны, следовательно: ∠OBA = ∠OAB = 30°.
2) Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, значит CA ⊥ OA. ∠OAC = 90°.
3) ∠BAC = ∠OAC - ∠OAB.
∠BAC = 90° - 30° = 60°.
ОТВЕТ: 60°
Быстрое решение (пояснения писать обязательно нужно):
1) ΔABO равнобедренный, так как радиусы окружности, составляющие стороны треугольника, равны (AO = OB). Следовательно, ∠OBA = ∠OAB = 30°.
По свойству касательной, CA ⊥ OA ⇒ ∠OAC = 90°. Значит:
2) ∠BAC = 90° - 30° = 60°
ОТВЕТ: 60°
Задача 1.
Попытаюсь объяснить подробней)
СА и СВ - это отрезки касательных, проведённых из одной точки.
ОА и ВО - это радиусы, проведённые в точки касания прямых с окружностью. По св-ву этих особых радиусов мы знаем, что они перпендикулярны касательным. Т.е. углы САО и СВО = 90°.
Треугольник АВО р/б, т.к. АО и ВО - радиусы. Если один из углов при основании = 40, то и второй = 40. По сумме углов треугольника: 180-(40+40)=100° - угол АОВ.
САОВ - это четырёхугольник, в котором все углы в сумме дают 360°.
∠АСВ - это угол между касательными. Его можно найти, если вычесть из 360° сумму всех остальных трёх углов четырёхугольника.
∠АСВ = 360°-(90°*2+100°)=80°.
ответ: 80°.
Задача 2. (рисунок №1 во вложении).
Сразу скажу о свойстве диаметра (в нашем случае это радиус, но значения не имеет): диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Значит, СА = ВА = 20:2 = 10см.
Треугольник АСО прямоугольный, т.к. ∠АСО = 90°. Если один из острых углов прямоугольного треугольника = 45°, то и второй угол = 45°. Отсюда, ΔСАО равнобедренный, СА=СО=10см.
ответ: 10см.
Задача 3. (рисунок №2 во вложении).
Построение треугольника во вложении, а инструкция построения серединного перпендикуляра здесь:
ВС – отрезок, к которому требуется построить серединный перпендикуляр. Построим две окружности радиуса ВС с центрами С и B. Они пересекутся в двух точках – доустим, К и L. Проведем прямую КL. Она является серединным перпендикуляром к отрезку ВС.
