1)Прямоугольная трапеция ABCD (BC || AD и D = 90°) вращается вокруг оси, содержащей сторону BC. Найдите объем фигуры вращения, если BC = 6 см, диагональ AC = 8 см и ACB = 60°. ответ:224 см^3

2)В конус, высота которого равна 4дм, а радиус основания 2 дм, вписан куб, четыре вершины принадлежат основанию, а четыре другие вершины – боковой поверхности. Найдите ребро куба.ответ: дм

Нужны чертёж и решение

1) Для решения этой задачи используем метод цилиндров. Мы знаем, что трапеция вращается вокруг оси, содержащей сторону BC, поэтому полученное тело будет цилиндром.

Для начала найдем высоту цилиндра. Обратимся к треугольнику ABC. Известно, что ACB = 60°, то есть ABC - равносторонний треугольник. Значит, BC = AC = 6 см. Также из условия задачи известно, что AC = 8 см. Теперь мы можем применить теорему Пифагора для нахождения высоты цилиндра.

Диагональ AD является гипотенузой треугольника ACD, поэтому можно записать следующее уравнение:
AD^2 = AC^2 - CD^2
AD^2 = 8^2 - 6^2
AD^2 = 64 - 36
AD^2 = 28
AD = sqrt(28)
AD = 2sqrt(7) см

Теперь, зная высоту цилиндра, мы можем найти его объем. Формула для объема цилиндра выглядит следующим образом:
V = площадь основания цилиндра * высота цилиндра

Основание цилиндра - это прямоугольная трапеция ABCD. Найдем площадь этого основания:
S = ((BC + AD) / 2) * h
S = ((6 + 2sqrt(7)) / 2) * 6

Теперь мы можем записать формулу для объема цилиндра:
V = ((6 + 2sqrt(7)) / 2) * 6 * 2sqrt(7)
V = 6 * (1 + sqrt(7)) * 2sqrt(7)
V = 12sqrt(7)(1 + sqrt(7))
V = 12sqrt(7) + 84 см^3

Таким образом, объем фигуры вращения равен 12sqrt(7) + 84 см^3, что приближенно равно 223.16 см^3. Ответ округляем до ближайшего целого числа и получаем 224 см^3.

2) Для решения этой задачи используем подход симметрии конуса и куба, вписанного в него.

Рассмотрим основание куба. Так как куб вписан в конус, и его вершины принадлежат основанию конуса, то это основание будет вписанным квадратом. Из этого следует, что сторона куба равна радиусу основания конуса.

Радиус основания конуса равен 2 дм, что составляет 20 см.

Так как сторона куба равна радиусу основания конуса, то сторона куба равна 20 см.

Ответ: сторона куба равна 20 см.